Teoría cuántica. Un universo de ondas de probabilidad

La teoría cuántica es uno de los modelos más precisos que describen el mundo que nos rodea, y las soluciones técnicas desarrolladas mediante el uso del aparato de la mecánica cuántica han entrado firmemente en la vida cotidiana de la sociedad moderna. Y es tanto más sorprendente que la comprensión, incluso de los conceptos básicos de esta área del conocimiento, entre en serio conflicto con la intuición, no solo de personas alejadas de la ciencia, sino también de los propios investigadores, lo que está confirmado por un gran número de interpretaciones diferentes . En este artículo me propongo considerar los conceptos básicos de la teoría cuántica desde el punto de vista más intuitivo que le pareció al autor, una teoría de la probabilidad algo modificada.



¿Qué pasará si, por analogía con el experimento de las dos rendijas, todo el espacio en el camino de la partícula a la pantalla está lleno de rendijas?

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A principios del siglo XIX, el determinismo dominaba en la imagen científica del mundo: la doctrina de que los parámetros iniciales de un sistema determinan completamente su desarrollo posterior. La mecánica newtoniana hizo posible predecir con mucha precisión el comportamiento de cuerpos no demasiado grandes que se mueven a velocidades mucho más bajas que la velocidad de la luz, y la teoría de la relatividad especial y general que apareció más tarde hizo posibles cálculos similares para objetos muy masivos que se mueven a velocidades cercanas a las velocidades de la luz.



Y era solo cuestión de tiempo que la creación del demonio de Laplace pareciera ser un dispositivo informático hipotético que podría recibir los parámetros iniciales de cualquier sistema como entrada y calcular su posición en cualquier momento. Los científicos ya han comenzado a anticipar una victoria casi completa sobre la incertidumbre y el triunfo de la mente humana, aunque las paradojas asociadas con la posibilidad misma de la existencia del demonio de Laplace ya estaban en gran duda.







Pero casi al mismo tiempo, los intentos de los investigadores de penetrar la estructura de la naturaleza en escalas espaciales y temporales extremadamente pequeñas trajeron malas noticias para el determinismo. Entonces, uno de los enunciados principales de la nueva teoría cuántica, el principio de incertidumbre, decía que si un sistema tiene parámetros conectados (conmutados), cuanto más exactamente medimos uno de ellos, menos certeza podemos determinar el otro.



Con base en estas ideas, no se pudo predecir ni un solo evento con absoluta precisión, ya que existía cierta incertidumbre en las mediciones y este hecho no era del agrado de muchos miembros de la comunidad científica de la época. El campo de los críticos estaba encabezado por Albert Einstein, quien ya tenía autoridad mundial en ese momento, quien en correspondencia con su oponente y colega Heisenberg - Max Born, dijo sobre la posibilidad del principio de incertidumbre: "... En cualquier caso, estoy convencido de que [Dios] no juega a los dados".

Principio de incertidumbre, tatuaje y caligrafía

El funcionamiento del principio de incertidumbre a menudo se atribuye a las propiedades del proceso de medición en sí, pero también hay razones más fundamentales y la forma más fácil de demostrarlas es mediante el ejemplo de dos parámetros: momento y coordenadas de partículas. Así como el mismo dibujo se puede realizar de dos formas fundamentalmente distintas: vectorial y raster, es decir, ya sea en forma de líneas, como, por ejemplo, en caligrafía, o como un conjunto de puntos, como en el caso de un tatuaje. Además, el movimiento de una partícula se puede describir de dos formas alternativas: con la ayuda del momento, el vector de masa-velocidad$$$\vec p=m\vec v$ o usando un conjunto de coordenadas espacio-temporales $$${(x_1,t_1);(x_2,t_2);...;(x_n,t_n)}$...

Izquierda: Maestro de caligrafía dibuja el símbolo de Enso (円 相,), fuente . Derecha: El proceso de tatuar la piel humana, fuente .

Y de acuerdo con el principio de incertidumbre, con mayor precisión fijaremos las coordenadas de un objeto en el espacio-tiempo. $$$Δx$, menos información podemos obtener sobre su impulso. Imagínese que varios fotógrafos están fotografiando una pelota lanzada, cada uno con una velocidad de obturación diferente en la cámara. Si la velocidad de obturación es larga, la posición de la bola en la foto resultará borrosa, pero el vector de su movimiento será claramente visible. Y cuanto menor sea la velocidad de obturación, más clara será la localización del sujeto y, en el límite, obtendremos una bola clara suspendida en el aire y no podremos decir nada sobre la trayectoria por la que se estaba moviendo.

Se muestran tres tomas alternativas de un objeto en movimiento, de izquierda a derecha, cómo con un aumento en el intervalo espacio-tiempo (exposición de la cámara), la cantidad de información sobre el impulso (trayectoria de la partícula) disminuye.

En el mundo de los objetos macroscópicos, este efecto no es un gran problema, y ​​si queremos establecer las coordenadas del automóvil con una precisión comparable al tamaño del automóvil en sí, entonces no habrá ningún problema: el automóvil puede ingresar al túnel de manera segura y aún mantener su trayectoria predecible. Pero si intentamos hacer lo mismo, por ejemplo, con fotones y comenzamos a transmitirlos a través de una rendija decreciente, entonces al principio el punto de luz, como se esperaba, se volverá cada vez más estrecho, pero cuando el tamaño de la rendija se vuelva comparable a la longitud de onda del fotón, entonces las trayectorias de los fotones en la salida de la rendija se volverán cada vez menos predecible y el punto de luz comenzará a extenderse a lo ancho. En otras palabras, cuanto más exactamente sepamos por dónde pasó la partícula, menos sabremos hacia dónde se moverá a continuación.

Arriba, de izquierda a derecha: patrones de interferencia obtenidos con sucesivas reducciones de rendija, fuente . Abajo: diagrama esquemático de la configuración experimental, fuente .

Ondas de materia y sus amplitudes

Pero es difícil sorprender a alguien con la interferencia de un rayo de luz, porque todo el mundo ya sabe que la luz es una onda, y cada punto del frente de onda también será fuente de una onda y al reducir el gap, obtenemos, según el principio de Huygens-Fresnel , un frente secundario, que, con una disminución el tamaño de la rendija se parecerá cada vez más a una onda de una fuente puntual.

Difracción del frente de onda delantero que pasa por el orificio, fuente .

De hecho, cualquier onda, por su naturaleza geométrica, no está localizada en un punto, porque para crear incluso la onda más simple, se requieren dos medidas: la amplitud de onda (altura) y la longitud de onda (ancho). Y si comenzamos a comprimir la ola en altura, entonces se extenderá en longitud y viceversa. Pero lo que es más interesante, se llevaron a cabo experimentos similares con partículas de materia: electrones, átomos e incluso moléculas orgánicas, y todos ellos también demostraron difracción de ondas.



Por primera vez, la idea de que no solo los fotones, sino en general cualquier materia tiene propiedades de onda fue expresada en 1923 por el físico francés Louis de Broglie en su obra " Ondas y cuantosEsta hipótesis fue parcialmente confirmada ya en 1927, como resultado del experimento de Davisson-Germer, que mostró la difracción de ondas de electrones, lo que le valió a Louis de Broglie un merecido Premio Nobel de Física en 1929.



Más tarde, el conocido experimento de dos rendijas se entregó con electrones, que mostró que las ondas de partículas de materia no solo pueden experimentar dispersión, formando frentes de ondas secundarios, sino que estas ondas secundarias también pueden amplificarse entre sí, encontrándose en la misma fase o, por el contrario, extinguiéndose mutuamente, encontrándose en antifase, creando un patrón de interferencia, similar al macroscópico ondas de agua u ondas de sonido acústicas.

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Pero si las ondas en el agua, este movimiento oscilatorio de las partículas de agua hacia arriba y hacia abajo, las ondas sonoras, es similar al movimiento de las moléculas de aire, cuya oscilación es una onda de materia, que puede ser un fotón, un átomo, una molécula, un ser humano. Formalmente, los científicos nunca llegaron a un consenso sobre este puntaje, sin embargo, aprendieron a calcular la función que describe esta onda en función de la coordenada o cualquier otro parámetro que se pueda medir y encontraron que el cuadrado del módulo de esta función es una estimación precisa de la probabilidad. resultados de la medición. Por lo tanto, muchos científicos, incluido el destacado físico Richard Feynman, lo llamaronfunciones de onda - con amplitudes de probabilidad. Y puede parecer bastante extraño que toda la materia y la radiación sean ondas de algunos conceptos matemáticos abstractos, pero como intentaremos mostrar más adelante, al aceptar esta afirmación, puede obtener una explicación bastante clara de muchos efectos cuánticos.

Números complejos y fase de probabilidad

A partir de experimentos con una y dos rendijas, ya sabemos que en muchos aspectos las amplitudes de probabilidad se comportan como las ondas más ordinarias y pueden incluso, al pasar por una doble rendija, superponerse entre sí, aumentando o viceversa disminuyendo la probabilidad de que una partícula aparezca en un punto, lo que crea un patrón de interferencia.

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Y si definimos la probabilidad de un evento como la razón entre el número de resultados que conducen al evento y el número total de todos los resultados posibles, entonces obtenemos que la probabilidad es un número positivo, en el intervalo de cero a uno, pero luego, si tomamos dos gráficos de densidad cualesquiera probabilidad de encontrar una partícula en un punto, entonces veremos que la suma de las amplitudes de estas gráficas siempre será mayor que cada una de ellas por separado y no se obtendrán interferencias destructivas.



¿Qué pasa si agregamos una propiedad a las ondas de probabilidad que las hace interferir? Imagine una línea recta y cada punto en ella corresponderá a la coordenada de la partícula, luego desde cada punto pospondremos perpendicularmente la probabilidad correspondiente a la ubicación de la partícula en este punto. Conectando el punto$$$x$y la probabilidad correspondiente obtenemos un vector - cuanto mayor es la longitud del vector, mayor es la probabilidad de encontrar una partícula en este punto, y para que estos vectores puedan interactuar, también sumaremos el ángulo de rotación a la longitud y lo tendremos en cuenta al sumarlo.



Probablemente ya haya adivinado que tal construcción es muy similar a los números complejos, que también tienen un módulo (longitud y fase) y un ángulo. Entonces cada coordenada corresponderá a un plano complejo, en el que los vectores de probabilidad rotarán como las manecillas de un reloj, y si miran en una dirección se sumarán, y si están en direcciones opuestas, se restarán. Al conectar los extremos de estas flechas, obtenemos la forma de la función de onda o la amplitud de la probabilidad de que una partícula se mueva en línea recta en una dimensión.

Animación de sucesivas transformaciones que le permiten obtener la función de onda como la suma de las amplitudes de probabilidad en puntos a lo largo del camino de la partícula (línea verde), primero se establece la parte real de la amplitud y luego la fase (ángulo de rotación) en el plano complejo. Fuente .

Los números complejos tienen la forma $$$z=x+y*i$donde está la primera parte $$$x$ llamado real, y el segundo - $$$y*i$- imaginario. Estos dos componentes nunca se mezclan, pero por lo demás obedecen las mismas reglas que los números reales ordinarios, teniendo en cuenta que$$$i$ Es una unidad imaginaria y es igual a $$$\sqrt{-1}$...



Uno de los axiomas básicos de la teoría cuántica, llamado regla de Born , establece que el cuadrado del módulo de la función de onda nos da una función de densidad de probabilidad , es decir, en nuestro ejemplo, la distribución de probabilidad de encontrar una partícula dependiendo de la coordenada.



Una actualización rápida en la memoria, el módulo de un número complejo es la distancia desde el origen -$$$(0, 0i)$ apuntar con coordenadas $$$(x;yi)$, es decir: $$$\sqrt{x^2+(y\sqrt{-1})^2}$, está claro que $$$(\sqrt{-1})^2=-1$, pero no descartaremos la unidad imaginaria por ahora, sino que encontraremos el cuadrado del módulo:

$$$\left(\sqrt{x^2+(y\sqrt{-1})^2}\right)^2=x^2+(y\sqrt{-1})^2=(x+y\sqrt{-1})(x-y\sqrt{-1})$

Obtenemos que el cuadrado del módulo de un número complejo es su producto por el mismo número complejo, el cual difiere solo en el signo antes del coeficiente de la parte imaginaria $$$z=x-y*i$... Estos pares de números se denominan conjugados complejos y son imágenes especulares entre sí, correspondientes a la rotación de vectores en el plano complejo en ángulos iguales, pero en direcciones opuestas.

Dónde: $$$\overline z$ - número conjugado complejo

El mundo real de las unidades imaginarias

Esto es lo que ya entendimos: la función de onda asigna un cierto número complejo a cada coordenada. En realidad, esto es lo que hacen las funciones de onda: ponen en correspondencia con algún parámetro medible un número complejo, cuyo ángulo de rotación se llama fase. Las fases de números complejos son responsables de los efectos de interferencia de amplificación y atenuación de probabilidades, que se obtienen multiplicando la función de onda por su propio reflejo de espejo - conjugación compleja.



Cuando se le pregunta por qué el cuadrado del módulo de la función de onda da la densidad de probabilidad, la teoría cuántica generalmente responde: cállate y cuentaporque el cuadrado del módulo convierte un número complejo en real. Por supuesto, esta respuesta no nos conviene en absoluto, porque de un número complejo se puede obtener uno real simplemente tomando su módulo, por lo que me gustaría entender el significado de elevar el módulo al cuadrado.



Imaginemos que no sabemos nada ni de la función de onda ni de la función de densidad de probabilidad, sino que simplemente hicimos muchas observaciones y marcamos con puntos dónde y con qué frecuencia aparece la partícula. Al mismo tiempo, entendemos que la distribución resultante debe describirse mediante algún tipo de gráfico de la función de densidad de probabilidad y sería de gran utilidad conocer esta función en sí.



Para averiguar qué función corresponde a nuestros puntos, vayamos de la manera más sencilla y comencemos a ajustar la respuesta a los datos, es decir, eligiendo polinomios que pasarán por el número máximo de puntos disponibles. Empecemos con dos puntos y seleccionamos para ellos los coeficientes del polinomio de primer grado, es decir, la función lineal$$$y = ax + b$porque la línea pasará exactamente por nuestros dos puntos. Si hay puntos que no se encuentran en esta línea, tomamos un polinomio de segundo orden$$$y = ax^2 + bx + c$cuya gráfica son varias parábolas, eligiendo los coeficientes, tenemos la garantía de obtener al menos tres puntos, uno de los cuales será un vértice, y los otros dos estarán en los lados. Luego volvemos a comprobar si todavía quedan puntos fuera del gráfico, de ser así, repetimos aumentando el grado del polinomio en uno más y así sucesivamente, la lógica es clara, el polinomio de grado$$$n$ garantizado para pasar $$$n+1$puntos y como resultado podemos elegir un polinomio que cubrirá todos nuestros puntos. Incluso hay un teorema especial, el teorema de aproximación de Weierstrass , que confirma que esto es posible.

Un ejemplo de puntos de ajuste tomados de la función de densidad de probabilidad de una distribución normal con polinomios de varios grados, desde el grado lineal hasta el décimo octavo, utilizando la función numpy.polyfit . Puedes asegurarte de que el grado del polinomio corresponda al número de puntos por los que pasa su gráfica.

Código Python:

from numpy import *
from matplotlib.pyplot import *
from mpl_toolkits.axes_grid.axislines import SubplotZero


mu, sigma = 0, 0.1
x = np.arange(-1,1,0.02)
y = 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))*np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2) )

y1 = poly1d(polyfit(x,y,1))	# linear
y2 = poly1d(polyfit(x,y,2))	# quadratic
y3 = poly1d(polyfit(x,y,3))	# cubic
y4 = poly1d(polyfit(x,y,4))	# 4th degree
y5 = poly1d(polyfit(x,y,10))	# 10th degree
y6 = poly1d(polyfit(x,y,18))	# 18th degree

fig = figure(figsize=(20,8), facecolor='#f4efcb', edgecolor='#f4efcb')
ax = SubplotZero(fig,111)
fig.add_subplot(ax)

ax.plot(x,y1(x),'r',label=u'')
ax.plot(x,y2(x),'g',label=u'')
ax.plot(x,y3(x),'orange',label=u'')
ax.plot(x,y4(x),'b',label=u'$4$ ')
ax.plot(x,y5(x),'c',label=u'$10$ ')
ax.plot(x,y6(x),'m',label=u'$18$ ')
ax.plot(x,y,'k.',label=u'')

ax.set_xlabel(u'x')
ax.set_ylabel(u'y')
ax.set_facecolor('#f4efcb')
ax.minorticks_on()
ax.legend(frameon=False,loc=8,labelspacing=.2)
ax.annotate('  18 :'+'\n'+str(y6.coeffs), xy = (-1,1.2))

setp(ax.get_legend().get_texts(), fontsize='large')

fig.savefig("Curve fitting.svg",bbox_inches="tight",pad_inches=.15)

Y dado que la densidad de probabilidad se puede aproximar mediante un polinomio, entonces seguramente este polinomio tiene raíces y otro teorema maravilloso, el teorema principal del álgebra dice que sí, cualquier polinomio debe tener soluciones en números complejos, y si las raíces son reales, entonces esto simplemente significa que la parte imaginaria es igual a cero (los vectores tendrán un ángulo de rotación cero), ya que el conjunto de números reales está completamente contenido en el conjunto de complejos$$$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$...



Y si algún número complejo$$$z=x+y*i$ es una raíz de algún polinomio, entonces automáticamente la raíz de la misma ecuación es el número conjugado a ella $$$\overline z=x-y*i$, otro teorema nos dice sobre esto: el teorema de raíces conjugadas complejas .



Por ejemplo, imaginemos que la densidad de probabilidad está descrita por un polinomio de segundo grado$$$x^2+5*x+6,5$y encuentra sus raíces. Por la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática$$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$sustituyendo los coeficientes $$$a=1, b=5, c=6,5$ y obtenemos en forma de solución dos números complejos conjugados $$$x_1=-5/2 + i/2$, $$$x_2=-5/2 - i/2$, como nos afirmó el teorema de las raíces conjugadas.



Por otro lado, conociendo las raíces y usando las fórmulas de Vieta, podemos descomponer el mismo trinomio cuadrado de la siguiente manera:$$$x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$es fácil comprobar que esto es cierto, sustituyendo los valores obtenidos y abriendo los corchetes, obtenemos el polinomio original. Pero al mismo tiempo, en el lado derecho de la fórmula de Vieta, obtuvimos el producto de dos números complejos conjugados, que es el cuadrado del módulo. En principio, la misma lógica se puede extender a otros grados de polinomios, lo principal es que las raíces siempre irán en pares, y su multiplicación se utilizará para obtener el polinomio original.



Por supuesto, este es un razonamiento muy vago, diseñado para comprender de alguna manera lo que está sucediendo y, usando un ejemplo simple, mostrar que los números complejos están completamente justificados y sus productos conjugados pueden dar algo similar a una densidad de probabilidad.

Una tira cómica con un chiste sobre números reales y la multiplicación de una función de onda por su propia conjugación compleja. Una fuente

Bien, supongamos que tenemos alguna idea de cómo funcionan las amplitudes de probabilidad, por qué son complejas y cómo se derivan las probabilidades ordinarias de ellas. Y podemos pasar a la cuestión de qué nos predicen estas probabilidades, es decir, sobre los resultados de las mediciones .

Función de onda y densidad de probabilidad

Al obtener la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una determinada coordenada, predecimos la frecuencia con la que observaremos la partícula en diferentes puntos. Por ejemplo, si la densidad de probabilidad se describe mediante una curva gaussiana, como en el lado izquierdo de la figura siguiente, entonces en$$$68\%$ casos veremos que la partícula aparece en el intervalo de $$$-1\sigma$ antes de $$$+1\sigma$y en $$$95\%$ casos en el segmento de $$$-2\sigma$ antes de $$$+2\sigma$etc. Lo cual, en el caso de una distribución simétrica bidimensional, que se muestra a la derecha, dará una mayor densidad de detección de una partícula en algún área circular en el centro y una baja densidad a medida que se aleja del centro:







Un esquema bastante sencillo: la función de onda de la coordenada establece la forma de la distribución, que luego nos dice las probabilidades de medir una partícula en un punto del espacio. Sin embargo, tal interpretación puede conducir a extrañas contradicciones y, a veces, es más natural pensar en las partículas como ondas de amplitudes de probabilidad. Por ejemplo, la imagen de abajo, a la izquierda, muestra cómo se ve la densidad de probabilidad para un electrón que interactúa con un núcleo de hidrógeno. De acuerdo con este gráfico, puede obtener la forma de los llamados orbitales de electrones, regiones alrededor del núcleo de un átomo en las que es más probable la interacción con un electrón, que se muestra a la derecha:





Izquierda: curvas de densidad de probabilidad de encontrar un electrón alrededor de un solo protón, para tres niveles de energía$$$1s, 2s, 3s$... Derecha: muestra un ejemplo de cómo se verían las distribuciones de puntos al medir la coordenada de un electrón. Fuente .



En la figura anterior, puede ver cómo cambian las formas de los orbitales según el nivel de energía del electrón: cuanto mayor es la energía del electrón, en primer lugar, mayor es el radio de la capa, lo cual es bastante comprensible, porque cuanto más energía, más fuerte es el electrón para resistir la atracción del núcleo y más desde el núcleo, puede interactuar, pero al mismo tiempo, a cada nuevo nivel de energía, se agrega una sección con probabilidad cero, llamada nodo, por lo que, por ejemplo, el orbital de un electrón en el 3er nivel de energía tiene la forma de una esfera estratificada que contiene dos zonas dentro de sí mismo, la probabilidad detección de un electrón en el que es cero.





El contorno de la probabilidad de encontrar un electrón en la vecindad del núcleo de un átomo de hidrógeno para tres niveles de energía de izquierda a derecha: 1s, 2, s 3s. Fuente .



Tal distribución de probabilidad parece muy extraña, porque es imposible pasar de una esfera a otra sin cruzar la anidada entre ellas.



Pero si piensa en un electrón como una amplitud de probabilidad, entonces todo se explica de forma bastante natural, en la imagen de abajo la función de onda del radio de un electrón alrededor del núcleo de hidrógeno, calculada en una dimensión, para tres niveles de energía.







Observando los gráficos de la función de onda, es más fácil entender que un electrón sostenido por el núcleo de un átomo es una onda estacionaria y, como cualquier onda estacionaria, tendrá los llamados nodos (nodo ): zonas donde la amplitud será cero como resultado de la interferencia con la onda reflejada.



Un ejemplo de la formación de nodos de interferencia (puntos rojos) en una fuente de onda estacionaria unidimensional .



Y si la onda unidimensional, como en la animación anterior, todavía no se parece a la forma de la capa de electrones tridimensionales en capas del átomo de hidrógeno, entonces propongo imaginar una onda en un plano bidimensional que se propaga desde una fuente puntual. Entonces, para ver la forma completa de una onda tan bidimensional , debe mirarla en tresmediciones. Y para un habitante de un mundo bidimensional, tal onda será solo un conjunto de círculos que divergen del centro. De manera similar, con las ondas tridimensionales, viven en cuatro dimensiones, pero para nosotros se verán como esferas tridimensionales divergentes.





Derecha: Animación de una onda que se propaga sobre una superficie 2D. Izquierda: un ejemplo de cómo se vería la proyección de esta onda en un plano.

Barrera de decoherencia cuántica

Abraham Pais es un eminente físico e historiador de la ciencia que colaboró ​​con una galaxia de leyendas científicas del siglo XX, entre las que se incluyen: John von Neumann, Albert Einstein, Niels Bohr, Max Born, Paul Dirac, Wolfgang Pauli y muchos otros. Al describir uno de los diálogos sobre el problema del observador en física cuántica, citó una pregunta que le hizo Einstein:

"¿De verdad crees que la luna solo existe cuando la miras?" (Rev. Mod. Phys. 51, 863 - 914 (1979), pág. 907).

Y de hecho, el antiguo dilema filosófico sobre la existencia de la realidad objetiva, con el descubrimiento de las propiedades cuánticas de nuestro mundo, se ha vuelto aún más urgente. La función de onda permite predecir el resultado de la medición con la precisión requerida, pero ¿existe de forma aislada del contexto de la medición y del observador, y cómo se puede verificar?



En primer lugar, es necesario definir qué son la observación y la medición . Para medir el tamaño de un objeto, le aplicamos una regla, para medir la temperatura - aplicamos un termómetro para medir la velocidad - enviamos una onda electromagnética hacia él.



En todos estos casos, necesitamos la interacción del objeto medido con algún otro objeto, cuyo estado podemos preparar previamente, tal objeto se llamará sistema de medición. Sacudieron el termómetro, prepararon el sistema de medición, colocaron la axila, hicieron una interacción y luego evaluaron cuánto había cambiado el estado del sistema de control. Este es un principio general, cualquier medida es la interacción del sistema medido con el de control.



Cualquier observación es también una medida, al observar algo obtenemos información sobre un objeto utilizando sistemas de medida integrados en nuestro cuerpo, que también interactúan con el objeto. Si miramos un objeto, entonces interactuamos con los fotones emitidos por este objeto, que, al caer sobre la retina del ojo, conducen a una compleja cascada de interacciones y al lanzamiento de una señal nerviosa que ingresa al cerebro.

« ? … . , , , . , … : “ , , ”».



«. » —

El principio de superposición de ondas nos dice que cuando dos o más ondas se encuentran en un punto del espacio, el resultado de la interacción será una nueva onda, que es la suma de sus amplitudes. Entonces, el resultado de la medición siempre será una superposición de las funciones de onda del sistema medido y de medición .



Ahora surge una pregunta razonable: si aceptamos la afirmación de que todo consiste en ondas de amplitudes de probabilidad, entonces ¿por qué vivimos tan aburridos que no observamos las propiedades de las ondas como la superposición y la interferencia en los objetos macroscópicos que nos rodean?



Para responder a esta pregunta, veamos nuevamente el experimento de la doble rendija: los electrones vuelan a través de la doble rendija uno a la vez y golpean la pantalla, se marcan en ella con un punto; cuando este proceso se repite muchas veces, los puntos forman un patrón de interferencia que corresponde al paso de una onda a través de dos rendijas.

Izquierda: animación del patrón de interferencia del paso de una onda a través de una fuente de doble rendija . Derecha: Resultados de un experimento sobre el registro de electrones individuales después de pasar por una rendija doble. Fuente: New Journal of Physics, volumen 15, marzo de 2013 .

Pero si queremos averiguar por cuál de las rendijas pasa el electrón y colocar un dispositivo de medición frente a una de ellas, entonces el patrón de interferencia en la pantalla desaparecerá y veremos solo dos picos en la pantalla. Todo esto es desconcertante, y uno podría tener la impresión de que existe una regla especial que le dice al electrón que si nadie está mirando, se propaga en forma de onda, y cuando intentan medirlo, se convierte en una partícula localizada. Suena muy extraño, porque mantener tantas reglas complejas para un simple electrón no está en absoluto en el espíritu de la naturaleza.

Una caricatura que se burla de la división de los fenómenos en cuánticos y clásicos. Fuente (http://www.bourbaphy.fr/zurek.pdf)

¿Qué pasa si solo aplicamos el principio de superposición, podemos obtener los mismos efectos observados? Entonces, si primero tenemos una función de onda que describe la coordenada de la interacción de un solo electrón con la pantalla$$$|\psi \rangle$, luego, después de pasar por la rendija doble, será la suma de dos funciones de onda: pasa a través de la rendija $$$1$ y por la brecha $$$2$, entonces el estado general se puede escribir como una superposición de estos dos estados$$$\psi =\psi_1 +\psi_2$...



En el caso de una función de onda, para encontrar la probabilidad de la interacción de la partícula en un punto, multiplicamos el valor de la función de onda en este punto por su propia conjugación compleja, las unidades imaginarias se cancelan y obtenemos la probabilidad clásica:

$$$p(x_j)=|\psi(x_j)|^2= z _j^* z_j= |z_j|^2$

En el caso de una superposición de dos posibles rutas, multiplicamos la suma de las funciones de onda:

$$$p(x_j)=|\psi_1(x_j)+\psi_2(x_j)|^2=$

$$$= (z1 _j^*+ z2 _j^*)(z1 _j+ z2 _j)=$

$$$= |z1 _j|^2+z1 _j^*z2 _j+z2 _j^*z1 _j+|z2 _j|^2$

En la expresión anterior, además de los módulos de números complejos, también recibimos términos de la forma: $$$z1 _j^*z2 _j$ y $$$z2 _j^*z1 _j$ productos de diferentes números complejos, cuyo resultado dependerá del ángulo de fase $$$φ$ estos números complejos:

$$$z1z2=|z1|⋅|z2|[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]$

Para comprender cómo interactuarán las fases de las dos rutas alternativas, imagine la fase como una flecha que gira a una velocidad determinada, a medida que la onda se propaga, una vuelta completa de la flecha corresponde a la longitud de onda y la velocidad de rotación corresponde a la frecuencia.

La flecha negra muestra una comparación de la "tasa de rotación" de las fases de dos paquetes de ondas con diferentes frecuencias de fuente .

Dado que se obtienen dos funciones de onda alternativas dividiendo una inicial, es razonable suponer que su frecuencia y longitud de onda serán las mismas y que las flechas de las ondas resultantes girarán a la misma velocidad. En base a esto, la diferencia de fase, al encontrarse en un punto de la pantalla, dependerá únicamente de la diferencia en la distancia recorrida por la ola hasta ese punto.



Esto quiere decir que en un punto ubicado a igual distancia de cada uno de los huecos, las ondas se encontrarán con la misma posición de las flechas, es decir, en una fase y en este lugar veremos un pico en el patrón de interferencia, y en el punto donde la diferencia en las distancias recorridas será la mitad de la longitud. Ondas: las flechas de las ondas se encontrarán en posiciones opuestas y se producirá una interferencia destructiva que dará una mancha oscura. Si se mueve un poco más hasta un punto en el que la diferencia es una longitud de onda completa, las flechas volverán a coincidir, y así sucesivamente.

La aparición de dos posibilidades alternativas de golpear la pantalla conduce a la división de la función de onda original en dos con las mismas fases, mostradas en forma de dial con flecha. La misma fase implica la misma velocidad de rotación de la flecha. Al golpear un punto en la pantalla en el momento de la misma posición de las flechas, las ondas interfieren constructivamente, si las flechas se dirigen en direcciones opuestas, se produce una interferencia destructiva.

¿Dónde desaparece la interferencia cuando medimos, por qué espacio pasa el electrón? Después de pasar por el detector, no aparecen dos, sino muchas más variantes alternativas diferentes de la función de onda, porque incluso si el detector es microscópico, aún estará formado por una gran cantidad de átomos, por ejemplo, incluso una centésima parte de un gramo de hierro contiene aproximadamente$$$10^{20}$átomos, pero el número específico no es importante para nosotros ahora, lo principal es que aparecen una gran variedad de diferentes opciones de interacción, que dependen del estado específico de las partículas detectoras, y cada estado alternativo dará su propia versión alternativa de la función de onda.



También toma$$$p(x_j)=|\psi(x_j)|^2$ ¿Es la probabilidad de que un electrón golpee la coordenada? $$$x_j$ en la pantalla, después de pasar por el detector, y nuevamente escribir esta probabilidad mediante la superposición de todas las posibles trayectorias alternativas:



$$$\psi(x) = \psi_1(x)+\psi_2(x)+...+\psi_n(x)$dónde $$$n$ - una gran cantidad de opciones diferentes para el estado del detector.

$$$p(x_j)=|\psi_1(x_j)+\psi_2(x_j)+...+\psi_n(x_j)|^2=$

$$$= (z1 _j^*+ z2 _j^*+...zn _j^*)(z1 _j+ z2 _j+...+zn _j)=$

$$$= (\sum_{j=1}^n z_j^*)(\sum_{j=1}^n z_j)$

Para mayor claridad, escribimos el resultado de multiplicar estas sumas en forma de matriz de $$$n^2$ elementos:

$$$\begin{bmatrix} (z1^*)(z1) & (z1^*)(z2) & \cdots & (z1^*)(zn) \\ z2^*)(z1) & (z2^*)(z2) & \cdots & (z2^*)(zn) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (zn^*)(z1) & (zn^*)(z2) & \cdots & (zn^*)(zn) \end{bmatrix}$

Total que tenemos $$$n$ - probabilidades clásicas a lo largo de la diagonal y $$$(n^2-n)$y términos de interferencia, y todo esto en la suma da la probabilidad de que un electrón golpee en un punto. Pero en este caso, los términos de interferencia ya no tendrán la misma fase, como en el caso anterior, cuando la onda pasó por la rendija sin interacción o se reflejó por completo. Ahora, al pasar por un detector que consta de varias partículas no sincronizadas entre sí, las funciones de onda resultantes también tendrán fases aleatorias e incoherentes.



Estos estados desincronizados se denominan estados mixtos.). Y aunque las funciones de onda de estados mixtos también interferirán, el resultado de la interferencia ya no dependerá de la distancia recorrida por la onda, y en cada punto de la pantalla se puede esperar el mismo y muy grande número de términos que interfieren tanto constructiva como destructivamente, que en promedio darán su contribución cero ... Así como los impactos de las moléculas de gas no mueven al objeto de su lugar, ya que en cada momento el objeto recibe aproximadamente el mismo número de impactos desde todas las direcciones.

Pérdida de coherencia de la función de onda. $$$1$ después de pasar el detector $$$d$ conduce a la reducción a cero de la contribución de los términos de interferencia en puntos de la pantalla y la aparición de un patrón correspondiente a la superposición de dos picos gaussianos.

En el caso general, cualquier interacción de un sistema cuántico con el entorno externo conduce inevitable y muy rápidamente a la mezcla de estados y, como resultado, a la desincronización de fase y al promedio de estados alternativos: decoherencia.



Por lo tanto, nuestra respuesta a la pregunta: ¿por qué no observamos efectos cuánticos en objetos macroscópicos en condiciones normales? Para obtener una superposición de los estados de un objeto macroscópico, es necesario aislarlo completamente de la interacción con el entorno externo, incluso colocarlo en un vacío completo, enfriarlo a temperaturas ultrabajas y protegerlo de diferentes campos, lo que es muy difícil de implementar en la práctica. En otras palabras, el gato de Schrödinger habría muerto incluso en la preparación de las condiciones necesarias para crear su superposición, mucho antes de que se pudriera la partícula radiactiva que rompe la ampolla con veneno.

Un poco de criptografía cuántica

El hecho de que su teléfono inteligente aún no tenga un procesador cuántico, también tiene que culpar a la decoherencia. Después de todo, incluso las implementaciones más modernas de computadoras cuánticas ocupan una habitación entera, y la mayor parte de sus diseños son sistemas de protección y refrigeración criogénica.

Diagrama de construcción de computadora cuántica D-Wave 2000Q, fuente .

Pero si la decoherencia es un gran problema en la creación de computadoras cuánticas, entonces en criptografía el cambio inevitable en la función de onda durante la medición resultó útil. Por ejemplo, si tomamos un fotón como un bit cuántico, entonces, dependiendo de su ángulo de polarización, podemos elegir dos opciones de codificación diferentes para cero y uno:

• $$$0$ - polarización vertical, $$$1$ - horizontal;
• $$$0$ - polarización diagonal, $$$1$ - antidiagonal.

Designemos estos dos métodos de codificación como dos bases: $$$VH$ y $$$DA$, respectivamente. Entonces, si el remitente - Alice codifica un poco en la base$$$VH$, es decir, envía un fotón polarizado horizontalmente o uno vertical, luego el receptor Bob deberá pasar el fotón recibido a través de un filtro polarizador lineal, que bloquea completamente la polarización vertical.



Entonces, si un fotón vuela a través del polarizador y golpea el detector, entonces sabemos con certeza que estaba polarizado horizontalmente.$$$0$, y si no pasa volando - vertical - $$$1$... Del mismo modo, si coloca el filtro polarizador en posición vertical, se bloqueará$$$100\%$ fotones polarizados horizontalmente.

Izquierda: un fotón orientado verticalmente está bloqueado por un filtro polarizador lineal. Derecha: cuando gira el filtro polarizador$$$90°$un fotón polarizado verticalmente pasa libremente. Fuente .

Hasta ahora, todo es totalmente coherente con el sistema de codificación de imágenes clásico. Pero debido al principio de superposición, podemos representar un fotón diagonal como una composición de polarización horizontal y vertical, y si luego lo pasamos por un polarizador orientado a filtrar fotones verticales, entonces la salida solo tendrá una componente horizontal con una amplitud$$$1/2$ del original, que en el caso de un solo fotón corresponderá a $$$50\%$ la probabilidad de pasar por el filtro.

A la izquierda: un fotón diagonal (flecha roja) presentado como una composición de los componentes horizontal y vertical (flechas rosadas y violetas) del campo electromagnético. A la derecha: un filtro polarizador lineal bloquea el componente vertical de un fotón diagonal y genera un fotón polarizado horizontalmente. Una fuente

Esto significa que si codificamos cada bit siguiente de forma aleatoria, el receptor también necesitará cambiar la rotación del filtro polarizador, porque si mide un fotón codificado en una base horizontal - vertical $$$VH$ con el filtro bajo $$$45°$entonces recibirá $$$0$ y $$$1$ aleatoriamente con probabilidad $$$50\%$, que es análogo a una pérdida total de información.

Al pasar por un polarizador lineal vertical, los fotones diagonales y antidiagonales pierden el componente horizontal y la salida es un fotón horizontal con la amplitud $$$1/2$del original. Fuente .

El primer protocolo de criptografía cuántica se basa en este principio: $$$BB84$que le permite transferir la clave de cifrado a través de un canal abierto. Entonces, si Alice necesita enviarle a Bob un mensaje que consta de n caracteres, entonces la forma más confiable sería traducir cada uno de los caracteres a un código binario, y luego tomar una secuencia de ceros aleatorios y unos de la misma longitud y realizar una operación de suma XOR bit a bit, es decir, si los caracteres tienen los mismos índices coinciden entonces como resultado obtenemos 0, y si difieren entonces$$$1$...



Entonces, Alice recibe un mensaje encriptado y una clave, si el destinatario Bob también tiene una clave, entonces puede hacer la operación XOR nuevamente y obtener el mensaje original. La física de la criptografía cuántica solo le permite intercambiar una clave, por lo que en el algoritmo$$$BB84$no se generan una, sino dos secuencias de bits aleatorios a la vez con cierto margen con respecto al mensaje. La primera secuencia indica en qué base se codificará el fotón, que es el bit cuántico de la clave enviada por Alice-Bob . Entonces Bob , recibiendo fotones, también usando una secuencia aleatoria, elige en qué base medir cada fotón, mientras que recibirá un resultado incorrecto con la probabilidad.$$$25\%$...



Luego de completar la transferencia de la clave cuántica, es necesario deshacerse de los errores, para esto se aplica el llamado procedimiento de cribado de clave, cuando Alice envía a Bob una secuencia de bases en la cual la clave fue codificada simplemente a través del canal clásico, luego de lo cual Bob verifica esta secuencia con la que midió los fotones al recibir la llave y le devuelve a Alice aquellas posiciones que resultaron ser erróneas. Alice tacha las posiciones erróneas y la clave obtenida se utiliza más para el cifrado.



El truco cuántico es que si un fisgón está conectado al canal, digamos: Eve, que interceptará un fotón, lo medirá y lo dirigirá más lejos hacia Bob , luego midiendo los fotones interceptados con una base elegida incorrectamente, también destruirá inevitablemente la superposición. Por lo tanto, incluso después de tamizar, todavía habrá errores en la clave de Bob que se pueden identificar durante el proceso de verificación, cuando Alice envía un fragmento de su clave a Bob a través del canal clásico, si no se encuentran errores como resultado de la verificación, entonces puede usar la clave con confianza. para mensajería.

Diagrama lógico del algoritmo de cifrado $$$BB84$... Fuente .

Conclusión

Espero que de este artículo haya podido obtener información y obtener una impresión general de cómo la teoría cuántica a partir de una idea extravagante se convirtió en uno de los modelos físicos más completos y precisos de nuestro Universo. Y finalmente, para aquellos que deseen profundizar en el tema, me gustaría recomendar varios recursos y libros:

• "Física y Filosofía" - Werner Heisenberg, comprensión de la teoría cuántica, vista por uno de sus fundadores más destacados.
• QED - A Strange Theory of Light and Matter es un libro clásico del brillante Richard Feynman, que se basa en conferencias de divulgación científica que dio en los años 60 en el Instituto de Tecnología de California (Caltech).
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• Physics Videos by Eugene Khutoryansky — YouTube , , , .
• Minute phisics — , , , : , , .
• 3Blue1Brown - Ex alumno de Channel of Oxford Grant Sanderson, una gran combinación de presentación fácil de entender y visualización única de conceptos de: física cuántica , álgebra lineal , redes neuronales . Grant también es el autor del curso sobre cálculo multivariado, disponible en el sitio del proyecto sin fines de lucro Khan Academy .