"Nuestra filosofía general [de Irving Kaplansky y Paul Halmos] sobre el álgebra lineal es la siguiente: pensamos en términos infundados, escribimos en términos infundados, pero cuando se trata de negocios serios, nos encerramos en la oficina y hacemos todo lo posible con las matrices".
Irving Kaplansky
.
, .
x, y ∈ ℝⁿ xᵀy
:
, . ,
.
x ∈ ℝᵐ, y ∈ ℝⁿ ( ) xyᵀ ∈ ℝᵐˣⁿ. , : (xyᵀ)ᵢⱼ = xᵢyⱼ,
A ∈ ℝⁿˣⁿ, tr(A) ( trA), :
:
A ∈ ℝⁿˣⁿ: trA = trAᵀ.
A,B ∈ ℝⁿˣⁿ: tr(A + B) = trA + trB.
A ∈ ℝⁿˣⁿ t ∈ ℝ: tr(tA) = t trA.
A,B, , AB : trAB = trBA.
A,B,C, , ABC : trABC = trBCA = trCAB ( — ).
∥x∥ x «» . , , l₂:
, ‖x‖₂²=xᵀx.
: f : ℝn → ℝ, :
x ∈ ℝⁿ: f(x) ≥ 0 ().
f(x) = 0 , x = 0 ( ).
x ∈ ℝⁿ t ∈ ℝ: f(tx) = |t|f(x) ().
x, y ∈ ℝⁿ: f(x + y) ≤ f(x) + f(y) ( )
l₁
l∞
lp, p ≥ 1
, :
{x₁, x₂, ..., xₙ} ⊂ ℝₘ , . - , . ,
α₁,…, αₙ-₁ ∈ ℝ, , x₁, ..., xₙ
; . ,
, x₃ = −2xₙ + x₂.
A ∈ ℝᵐˣⁿ , . , , — A. , .
( ), A ∈ ℝᵐˣⁿ , A rank(A) rk(A); rang(A), rg(A) r(A). :
A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) ≤ min(m,n). rank(A) = min(m,n), A .
A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) = rank(Aᵀ).
A ∈ ℝᵐˣⁿ, B ∈ ℝn×p: rank(AB) ≤ min(rank(A),rank(B)).
A,B ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).
x, y ∈ ℝⁿ , xᵀy = 0. x ∈ ℝⁿ , ||x||₂ = 1.
U ∈ ℝⁿˣⁿ , ( ). , .
,
, , . , U (U ∈ ℝᵐˣⁿ, n < m), , UᵀU = I, UUᵀ ≠ I. , , .
, ,
x ∈ ℝⁿ U ∈ ℝⁿˣⁿ.
-
{x₁, x₂, ..., xₙ} , {x₁, ..., xₙ},
R(A) ( ) A ∈ ℝᵐˣⁿ . ,
-, A ∈ ℝᵐˣⁿ ( N(A) ker A), , A ,
A ∈ ℝⁿˣⁿ x ∈ ℝⁿ xᵀ Ax. :
,
A ∈ 𝕊ⁿ , x ∈ ℝⁿ xᵀAx > 0.
( A > 0),
.
A ∈ 𝕊ⁿ , xᵀ Ax ≥ 0.
( A ≥ 0),
.
A ∈ 𝕊ⁿ
, x ∈ ℝⁿ xᵀAx < 0.
, A ∈ 𝕊ⁿ (
), x ∈ ℝⁿ xᵀAx ≤ 0.
, A ∈ 𝕊ⁿ , , , x₁, x₂ ∈ ℝⁿ ,
.
A ∈ ℝⁿˣⁿ λ ∈ ℂ x ∈ ℂⁿ ,
, A x , λ. , x ∈ ℂⁿ ∈ ℂ A(cx) = cAx = cλx = λ(cx). , cx . , , λ, 1 ( , x, –x, ).
" Data Science". , , , .