Los 5 problemas matemáticos de números primos sin resolver más antiguos

Las matemáticas han sido un tema que ha desafiado a las mentes más grandes de la historia de la humanidad durante siglos. Quizás una de las áreas más exploradas de las matemáticas es el estudio de los números primos.

, . 5 , , 500-2000 .

1. : ? ?

6, 28, 496, 8128…

? , , .

....

, «» :

, , . . , , (525 . .) .

?

, n, - , $x = 2 ^ {norte - 1} (2 ^ norte - 1)$ - . .

, .

: x = 2 ^ n - 1 n. , , n . ( , . , $2 ^ {11} - 1 = 2047 = 23 * 89$ ).

: ? 47 .

18 : $2 ^ {n-1} (2 ^ n - 1).$ , .

, ( 300 . .). , !!! ( , ).

, , , « » « ».

Euclides (c. 300 a. C.) fue el primero en demostrar que hay infinitos números primos. — (. 300 . . . .) , .

2. : -

- — (p, p + 2), p p + 2 .

- . - 1846 . . , -.

2000 .

!

(p, p + k), k <= 246.
— (, , ), (p, p + k), k <= 6. , , 2 (twin-primes), 4 (cousin-primes) 6 (sexy-primes) .

, , , . , -.

3. n- ?

, . , , .

, 3,4 5 . .

, n- n = {3, 6, 12, 24… 4, 8, 16… 5, 10, 20…} .

, n . 2000 , . 1796 19- 17-. , . .

!

, n- , n ( ).

— :

$2 ^ {2 ^ n} + 1$

, . . : 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297…

2021 F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537.

, . 1732 , F5 641. , n = 5, 6...31 . F4 .

n- , .

4. (1742)

:

, , .

:

, 5, .

«», «» . , , , .

( — 2013 . 2018 , ).

, .

!

1930 , 1 C , C < 800 000 [ — , C = 2].
, n >= 4 6 (.. <= 6). C <= 4.

— 2007 « «.

: . 4 ( ), ( 2004 ).

5. P (2004)

, n = 10089886811898868001. , . , , ,

A — 1 <k <n n k. , , n , n k, $k \ leq \ sqrt {n}$

B — , $1 <k \ leq \ sqrt {n}$

, , «P»?

, «P», «» , . , , n .

, ?

( x). — n. , x = 20 n. , n, $x = \ log {n}$

( ), f(x) , f — .

, , n $\ sqrt {n}$ B.

, — $\ log {n}$

$\ gamma (x)$ - x.

, $\ gamma (x) = n \; pasos = e ^ {\ log {n}} = e ^ x \; pasos$

B, $\ gamma (x) = \ sqrt {n} \; pasos = \ sqrt {e ^ x} \; pasos = e ^ {0.5x} \; pasos$

. 400 , . , . ( ) 2004 , IITK.

( AKS) «Primes Is In P«, , ( , n ), ~ $\ log ^ {12} n$ . , ~ $\ log ^ 6 n$ , , ~ $\ log ^ 3 n$ (. — ).

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