Revolviendo el azúcar en el té o el café por la mañana, notará que la forma de la superficie del agua en el vaso toma la forma de un embudo. Sobre en qué está pensando la gente desde hace tiempo, por ejemplo, hay un artículo sobre Habré , que afirma que es un paraboloide (una parábola, si miras en una sección). Sin embargo, es fácil ver que esto no es realmente una parábola. O mejor dicho, no es una parábola. ¿Y entonces qué es?
Para calcular qué forma tomará el agua (u otro líquido) en el vaso, es necesario tener en cuenta la viscosidad y el efecto de las paredes del cristal. Por lo tanto, aquí es necesario utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible viscoso. Dado que el vidrio tiene una forma cilíndrica, las ecuaciones de Navier-Stokes deben escribirse en coordenadas cilíndricas, donde el eje z va a lo largo del centro del vidrio y se dirige hacia arriba, y r es la distancia desde este eje. En general, las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas son las siguientes (hidrodinámica de Landau-Lifshitz):
Aquí ro es la densidad del líquido y nu es la viscosidad cinemática.
Es muy difícil resolver un sistema de ecuaciones de este tipo en forma analítica, por lo que haremos dos simplificaciones razonables. Primero, asumiremos que el fondo del vaso no afecta la forma del líquido, es decir, el vaso es lo suficientemente profundo. En segundo lugar, supondremos que la velocidad de rotación del líquido en un círculo es mucho mayor que la velocidad de movimiento del líquido hacia arriba y hacia abajo y desde el centro del vidrio hacia y desde sus paredes. Esos. estas velocidades pueden despreciarse. Teniendo en cuenta tales simplificaciones, la tercera ecuación de nuestro sistema se convertirá en identidad, y las dos restantes se verán así:
La presión dentro del líquido en cualquier punto es directamente proporcional a la columna de líquido por encima de este punto y se calcula utilizando la fórmula conocida:
g - , y - z, , , . , :
, omega , , :
, , , , . :
, , , . , , , , :
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r. , :
, r:
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r :
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.
R - ,
, :
, , , :
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C - . , :
:
Encontremos ahora, de hecho, la forma de la superficie. Para hacer esto, sustituimos el valor de la velocidad tangencial en la ecuación por y:
Integramos y obtenemos:
Aquí C1 y C2 son constantes dependiendo de cuánto centrifuguemos el líquido y de la profundidad de nuestro vaso. Nuestro perfil de fluido giratorio se verá así:
Y si lo representa en 3d, entonces así:
Si esta se parece a la forma real de té que toma por la mañana, escriba en los comentarios.