“Los logros de Kurt Gödel en la lógica moderna son únicos y monumentales. Definitivamente, esto es algo más que un monumento a un científico, es una estrella guía, cuya luz continuará esparciéndose en el espacio y el tiempo para siempre ”.
John von Neumann
En vísperas de la muerte, el Imperio Austro-Húngaro le dio a la humanidad muchas mentes geniales. Grandes nombres como Erwin Schrödinger, Sigmund Freud y Stefan Zweig son conocidos, quizás, de todos, incluso de aquellos que están infinitamente alejados del mundo de la física, el psicoanálisis o la literatura clásica. No muchos están familiarizados con el trabajo de Kurt Gödel, aunque la escala de su contribución a las matemáticas es comparable a la de Einstein en el campo de la física. Después de todo, si la teoría de la relatividad y la teoría cuántica ayudaron a la humanidad a mirar desde un ángulo completamente diferente a las leyes del universo, entonces los teoremas de Gödel obligaron a los científicos a reconsiderar sus ideas sobre la metodología científica y los principios de la mente humana.
La lógica como forma de vida
Kurt Friedrich Gödel nació el 28 de abril de 1906 en la ciudad austrohúngara de Brunn (ahora la ciudad estatutaria de la República Checa Brno), en la familia del comerciante austriaco Rudolf August Gödel, que dirige una gran fábrica textil. Aunque Kurt desde la infancia mostró habilidades notables para los idiomas (incluso en su juventud dominó el inglés y el francés, habiendo aprendido a hablarlos no peor que su alemán nativo), sin embargo, su carrera como lingüista no le atrajo. Después de graduarse de la escuela en 1923, el joven ingresó en la Universidad de Viena, los dos primeros cursos de los cuales se dedicó al estudio de la física, pero luego cambió a matemáticas, lo que se vio facilitado en gran medida al leer el libro de Bertrand Russell "Introducción a la filosofía". de Matemáticas ".
El joven Kurt Gödel, 1925
El Círculo Filosófico de Neopositivistas de Viena, creado bajo la dirección de Moritz Schlick, profesor del Departamento de Ciencias Inductivas, no tuvo menos influencia en la formación de Kurt Gödel como científico. En varias ocasiones, el filósofo y lógico Rudolf Carnap, el sociólogo y economista Otto Neurath, el filósofo Herbert Feigl, el matemático y mecánico Richard von Mises, y muchos otros científicos destacados de principios del siglo XX, participaron en el trabajo de Viena. Circulo.
Filósofo germano-austríaco, fundador del Círculo de Viena Moritz Schlick
Desde 1926, Kurt Gödel nunca se perdió un solo seminario “jueves” del Círculo de Viena y participó en todas las conferencias internacionales organizadas por sus fundadores. El joven mostró un interés particular en áreas como la lógica matemática y la teoría de la prueba. Sin embargo, una visita al Octavo Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en Bolonia en 1928, desempeñó un papel clave en su carrera científica posterior, donde Gödel tuvo la suerte de escuchar una conferencia del propio David Hilbert sobre la integridad y coherencia de los sistemas axiomáticos. . El estudio de este tema formó la base para el futuro trabajo científico de Kurt: en 1930, Gödel defendió brillantemente su disertación "Sobre la integridad del cálculo lógico", al mismo tiempo que hizo uno de los mayores descubrimientos en la historia de las matemáticas.
Puede parecer que una persona de este tipo de mentalidad debería haber sido un materialista empedernido, pero no es así en absoluto. A diferencia de muchos de sus colegas, Gödel siguió siendo teísta hasta el final de su vida, aunque no se identificó con ninguna de las denominaciones existentes. Una vez, un científico formuló 14 principios y creencias básicos que subyacen a su propia cosmovisión:
- El mundo es inteligente.
- En principio, siguiendo ciertas técnicas, una persona puede desarrollar sus habilidades mentales a un nivel superior.
- Existen métodos sistemáticos para resolver cualquier problema.
- Hay otros mundos y otros seres inteligentes, incluidos los de un orden superior.
- El mundo en el que vivimos no es el único mundo en el que viviremos o habremos vivido antes.
- La cantidad de lo que se puede aprender a priori es inconmensurablemente mayor de lo que se sabe en este momento.
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Para algunos, la peculiar "fe científica" de Gödel puede parecer contradictoria o incluso caótica. Pero todo encaja si comprende el principio fundamental, tras el cual el gran matemático construyó los cimientos de la realidad circundante ladrillo a ladrillo. En la vanguardia, siempre puso la posibilidad de fundamentación lógica de una teoría u otra, rechazando dócilmente cualquier concepto en conflicto, independientemente de su estatus.
En este sentido, la actitud de Gödel hacia la enseñanza evolutiva de Charles Darwin, generalmente reconocida en los círculos científicos, es muy indicativa: el matemático la encontró completamente insostenible.
"La complejidad de los organismos vivos debería estar determinada por la complejidad del 'material' del que están compuestos o por la complejidad de las leyes por las que se desarrollan".
Gödel rechazó la posibilidad misma de la emergencia espontánea de sistemas tan complejos, que son organismos vivos, a partir de componentes elementales, o el desarrollo de formas de vida más perfectas a partir de formas primitivas. De hecho, desde el punto de vista de la lógica, la idea misma de convertir lo simple en complejo contradice el sentido común. Aunque todavía existen un par de excepciones a esta regla: tales metamorfosis se vuelven posibles si el mundo está estructurado y organizado de manera tan compleja que sus propias leyes contribuyen al ordenamiento y complicación consistentes de una madre viva, o si alguien dirige y controla deliberadamente los procesos evolutivos que es solo una prueba indirecta de la existencia de algún poder superior.
Vale la pena señalar que el deseo innato de comprensión lógica del mundo no siempre benefició al científico. Los admiradores del trabajo de Mark Zakharov probablemente recordarán la escena de la película "The Same Munchausen", en la que el barón frustró su propio proceso de divorcio, anotando una fecha inexistente en los documentos: el 32 de mayo. El mismo gran matemático estuvo a punto de encontrarse en una situación similar: si Munchausen sufría por su amor a la verdad (según la trama de la película, un día más fue su descubrimiento astronómico), entonces Kurt Gödel casi se decepcionó por su impecable lógica.
Al igual que el barón Munchausen, Kurt Gödel
estuvo a punto de sufrir por sus convicciones. Esto sucedió en 1940, cuando, tras el Anschluss, Gödel, como muchos de sus colegas, se vio obligado a emigrar a Estados Unidos, donde más tarde se convirtió en profesor en el Instituto de Princeton. para estudios avanzados. De acuerdo con las regulaciones para obtener la ciudadanía estadounidense, cada solicitante tenía que aprobar algo parecido a un examen oral, que demostraba su conocimiento de las principales disposiciones de la Constitución de los Estados Unidos. Gödel abordó el estudio del más alto acto jurídico normativo de los Estados Unidos de América con toda la escrupulosidad que le es inherente, pero tras analizar lo que leyó, el científico llegó a una conclusión inesperada: al final resultó que, en el “país más democrático en el mundo ”es absolutamente legal establecer una dictadura mediante ... votaciones a nivel nacional.
Un descubrimiento tan resonante casi le costó la ciudadanía a Kurt Gödel, pero Albert Einstein, un amigo cercano y uno de los garantes del científico, pudo persuadir al matemático de posponer las discusiones políticas al menos hasta el momento de prestar juramento. Prestó atención a las advertencias y aprobó con éxito el examen, y luego no volvió a este tema. Curiosamente, un cuarto de siglo después, el economista estadounidense y premio Nobel Kenneth Joseph Arrow llegó a conclusiones similares, formulando el teorema sobre la imposibilidad de la democracia como una elección colectiva, también conocido como el "teorema de la inevitabilidad del dictador".
Albert Einstein presenta a Kurt Gödel y Julian Schwinger las medallas del Premio Einstein, 1951
Probablemente solo una persona como Kurt Gödel, que puso la lógica y el racionalismo incluso por encima de sus propios intereses, podría hacer un descubrimiento que hizo que los científicos reconsideraran radicalmente sus puntos de vista sobre la estructura del sistema. universo, de la noche a la mañana al polvo de las esperanzas de muchos de sus compañeros matemáticos de una formalización total de la ciencia de los números y de la ciencia en su conjunto. Y ahora que tiene una mejor idea de cuál era la forma de pensar de Kurt Gödel y lo que la lógica significaba para él, puede continuar con la historia sobre la principal creación intelectual del científico: los teoremas de la incompletitud y la inconsistencia, que revelar la esencia de las limitaciones fundamentales de cualquiera de los sistemas formales existentes.
Formalización del universo
A pesar de su considerable antigüedad, los "Comienzos" del antiguo científico griego Euclides, escritos alrededor del 300 a. C., y hasta el día de hoy son un modelo de la presentación lógica de la teoría matemática y de cualquier teoría científica en general. Muchas de las mentes más grandes de la humanidad, incluidos René Descartes, Isaac Newton y Benedict Spinoza, tomaron la estructura de los "Elementos" como base para sus trabajos, y hoy el enfoque deductivo para la presentación del conocimiento se utiliza en la compilación de casi todos los libros de texto de la escuela o la universidad.
El matemático griego antiguo Euclides, "padre" de la geometría clásica
A pesar de esto, la obra monumental de Euclides no fue en absoluto perfecta, como incluso sus contemporáneos señalaron. Con el mayor desarrollo de la ciencia matemática, el número de deficiencias reveladas de los "Elementos" solo creció, lo que, sin embargo, fue bastante natural: con el tiempo, los enfoques de la axiomática y la metodología para fundamentar teoremas tanto en geometría como en aritmética solo mejoraron , y el texto original de Euclides, a todo, por cierto, no estaba exento de muchas deficiencias, cuyas raíces se encuentran en la antigua tradición. Así, por ejemplo, los antiguos matemáticos griegos con una terquedad envidiable evitaron el concepto de infinito real., por lo que todos los patrones geométricos en los "Elementos" se describieron en relación con un área limitada del plano. Esto, por un lado, hizo que sus formulaciones fueran innecesariamente engorrosas y, al mismo tiempo, limitó significativamente el alcance de un razonamiento adicional, como, por ejemplo, en el caso del axioma de la línea paralela.
A finales del siglo XIX, todos los problemas y contradicciones de los "Elementos" euclidianos fueron resueltos por David Hilbert, quien presentó en 1899 la obra monumental "Fundamentos de la geometría". El éxito del matemático alemán inspiró a muchos de sus contemporáneos, impulsando con vehemencia a trabajar hacia la total formalización de la ciencia matemática.
La idea misma de esto ha estado en el aire durante las últimas décadas. Ya en 1889, el matemático italiano Giuseppe Peano utilizó el enfoque de Euclides, pero ya no en relación con la geometría, sino con la aritmética, formulando 5 axiomas básicos de los números naturales:
- En el conjunto de números naturales N, hay un número natural 1, llamado unidad.
- Cada número natural n es seguido inmediatamente por un número natural n 'determinado de forma única, llamado el siguiente después de n.
- La unidad, es decir, el número natural 1, no sigue directamente a ningún número natural.
- Cada número natural sigue inmediatamente como máximo a un número natural.
- Cualquier subconjunto M del conjunto N que contenga uno, y junto con cada número de M que contenga el siguiente número, coincide con el conjunto N.
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Los axiomas de Peano resultaron ser tan simples como exhaustivos, porque mediante inferencias lógicas consistentes permiten derivar y probar todos los teoremas aritméticos básicos. El trabajo de Peano hizo que los científicos pensaran en desarrollar un enfoque unificado para la axiomatización de otras ramas de la ciencia matemática. Sin embargo, el lógico, matemático y filósofo alemán Gottlob Frege decidió ir más allá, proponiendo no solo afirmar axiomáticamente las propiedades básicas de los objetos matemáticos, sino también formalizar los propios métodos de razonamiento. Frege esbozó los resultados de su trabajo en esta dirección en las Leyes básicas de la aritmética en dos volúmenes, el primer libro del cual se publicó en 1893, mientras que el segundo se publicó solo 10 años después. Pero incluso a pesar del tremendo trabajo realizado por Frege, su trabajo final tuvo un defecto muy significativo.
El lógico, matemático y filósofo alemán Gottlob Frege
Poco antes de la publicación del segundo volumen de "Las leyes básicas de la aritmética", el científico recibió una carta de su colega británico, Bertrand Russell, en la que señalaba una circunstancia que el matemático había pasado por alto. El sistema formal propuesto por Frege contenía una paradoja en la parte relativa a la ingenua teoría de conjuntos de Georg Cantor. En un lenguaje informal, su esencia se puede expresar de la siguiente manera.
Acordemos llamar "ordinario" a un conjunto que no es su propio elemento. Esto, por ejemplo, se puede atribuir a la audiencia de Habr: este conjunto es una colección de todos los lectores del portal, pero no es un lector en sí. Una pluralidad "inusual" será tal pluralidad que es su propio elemento. Estos incluyen el conjunto de todos los conjuntos, ya que, dado que incluye en general todos los conjuntos existentes, debe ser él mismo un elemento de sí mismo.
Ahora imaginemos un conjunto que consta de todos los conjuntos ordinarios (se llamará de Russell) y tratemos de averiguar si se refiere a ordinarios o inusuales. No puede ser ordinario, ya que por definición consta de todos los conjuntos ordinarios, lo que significa en este caso que debe incluirse a sí mismo. Resulta que tenemos ante nosotros una multitud inusual. Sin embargo, en este caso, no puede incluirse a sí mismo como un elemento, ya que por definición debería consistir solo en conjuntos ordinarios. Pero si la multitud no es su propio elemento, se vuelve ordinario. Obtenemos una contradicción.
El lógico y matemático británico Bertrand Russell
En los días que quedaban antes de la publicación del libro, Gottlob Frege intentó con todas sus fuerzas resolver la paradoja de Russell finalizando su sistema formal, pero todos sus intentos fueron infructuosos. Como resultado, el matemático no tuvo más remedio que agregar un epílogo al segundo volumen, en el que, de hecho, admitía su completa derrota intelectual:
“¿Qué podría ser más terrible para un científico que descubrir que la base misma de su muchos años, obra apenas terminada, en colapso de la noche a la mañana? La carta que recibí de Bertrand Russell me puso en una posición tan poco envidiable ... "
Posteriormente, el matemático dedicó mucho tiempo y esfuerzo a intentar resolver la paradoja en el marco de su propia teoría, pero todo fue en vano. Para Frege, esto resultó ser un golpe tan poderoso que hasta el final de sus días nunca escribió un solo libro.
La paradoja fue resuelta por el propio Russell con la ayuda de la teoría de tipos.... Pronto el científico presentó su propia versión del sistema formal, abarcando todas las ramas de las matemáticas y libre de las contradicciones conocidas en ese momento. Su trabajo se plasmó en los Principia Mathematica de tres volúmenes, en coautoría con Alfred North Whitehead, publicado entre 1910 y 1913. Posteriormente, David Hilbert describió este trabajo como "la corona de todos los numerosos esfuerzos para axiomatizar las matemáticas".
Sin embargo, los resultados de la investigación de Russell no fueron suficientes para el propio Gilbert. En 1922, había madurado en su cabeza un plan mucho más ambicioso para fundamentar la ciencia matemática y su formalización integral. Las ideas de Hilbert tomaron forma en el llamado "programa de Göttingen", que es una lista de postulados básicos e investigaciones necesarias para probarlos. Brevemente, su esencia se puede resumir de la siguiente manera.
Las matemáticas son un conjunto de consecuencias derivadas del sistema de axiomas primarios y son:
- Completo: cualquier enunciado matemático puede probarse o refutarse sin ambigüedades utilizando las reglas de las matemáticas mismas;
- Consistente: ningún enunciado matemático puede probarse y refutarse simultáneamente sin violar las reglas de las matemáticas;
- Decidible: para cualquier enunciado matemático, es posible establecer sin ambigüedades si es refutable o demostrable.
El mismo Hilbert estaba absolutamente seguro de la validez de los postulados enumerados: según el científico, las matemáticas eran a priori completas, consistentes y solucionables, solo necesitan ser probadas.
El matemático alemán David Hilbert
Pero las ambiciones del científico se extendían mucho más allá de la mera ciencia de los números. En su artículo "Cognición de la naturaleza y la lógica", Hilbert escribió lo siguiente:
"La idea principal es formular unas pocas afirmaciones, llamadas axiomas, en vastos campos de la ciencia, para luego construir todo el edificio de la teoría sobre su base en de una manera puramente lógica ".
El matemático creía seriamente que todas las disciplinas concebibles, incluidas las ciencias naturales, están sujetas a axiomatización y formalización. Y el desarrollo de una metodología de cognición algorítmica unificada podría potencialmente dar un ímpetu sin precedentes al desarrollo de la ciencia. Imagínense las alturas que la humanidad podría conquistar, si una “llave maestra universal del universo” apareciera en el arsenal de los científicos, ¡una especie de metodología superior que permite calcular descubrimientos científicos! En nuestro tiempo, esto podría llevar a la creación de algo como el "Gran Pensador" de "La Guía del Autoestopista Galáctico" , además, capaz no solo de responder a las preguntas formuladas, sino también de calcular las leyes del Universo aún no conocidas. por adelantado. En este mundo, no habría barreras para la razón, y la humanidad adquiriría una verdadera omnipotencia.
Frustración
Sin embargo, los ambiciosos planes de Hilbert para formalizar el universo nunca estuvieron destinados a hacerse realidad. El 7 de septiembre de 1930, en un congreso matemático regular organizado por el Círculo de Viena en Konigsberg (ahora Kaliningrado), Kurt Gödel, de 24 años, hizo un informe "Sobre la integridad del cálculo lógico", dentro del cual anunció dos teoremas fundamentales que refutaban Las ideas de Hilbert.
En su forma primaria, los teoremas de Gödel se ocuparon de las limitaciones fundamentales de la aritmética formal. Sin embargo, dado que prácticamente todos los sistemas formales utilizan conceptos aritméticos básicos en un grado u otro, los teoremas de Gödel resultaron ser válidos para muchas otras ramas de la ciencia. Por esta razón, a continuación se dan dos enunciados de cada uno de los teoremas.
Primer teorema de Gödel (teorema de incompletitud)
Para la aritmética: si la aritmética formal es consistente, entonces hay una fórmula irreductible e irrefutable en ella.
Generalizado: toda teoría axiomática consistente contiene afirmaciones que no pueden ser probadas ni refutadas por medio de esta teoría misma.
Segundo teorema de Gödel (teorema de contradicción)
Para la aritmética: si la aritmética formal es consistente, entonces alguna fórmula no es deducible en ella que afirme sustancialmente la consistencia de la aritmética.
Generalizado: la consistencia de cualquier teoría axiomática no puede ser probada por medio de esta teoría en sí.
Esta actuación no fue planeada de antemano y produjo el efecto de una bomba explosiva en los círculos científicos, convirtiendo a Gödel en una celebridad mundial de la noche a la mañana. Esto no es sorprendente, porque de hecho el matemático demostró que toda la investigación en el marco del "programa de Göttingen" fue en vano, y seguir trabajando en él no tenía sentido, ya que los tres postulados clave subyacentes resultaron ser inicialmente falsos.
Un año más tarde, un artículo titulado "Sobre disposiciones fundamentalmente irresolubles en Principia Mathematica y sistemas relacionados", que contiene pruebas de ambos teoremas, se publicó en la revista científica austriaca "Monatshefte für Mathematik und Physik" ("Mensual de matemáticas y física"). Y aunque la demostración del segundo teorema se dio sólo en forma de idea general, era tan lógica y obvia que nadie tenía la menor duda sobre su fiabilidad.
Para crédito de David Hilbert, hay que decir que el científico fue el primero en reconocer el valor de los trabajos científicos de Gödel, coincidiendo en que todo su programa de formalización de los fundamentos de las matemáticas requiere una revisión radical. Además, fue en el segundo volumen de "Fundamentos de las matemáticas", que se publicó en 1938, donde se presentaron por primera vez las pruebas completas de ambos teoremas. En el prefacio del libro, sus autores señalaron que para lograr sus objetivos, los métodos finitos por sí solos, lamentablemente, no son suficientes, ya que agregan inducción transfinita al número de medios lógicos necesarios .
Aunque han pasado 90 años desde la aparición de los teoremas de Gödel, los científicos no han llegado a una opinión inequívoca al evaluar su influencia tanto en las matemáticas como en el desarrollo posterior de las ciencias fundamentales. Mucha gente hasta el día de hoy comparte la posición de Bertrand Russell, quien dijo que, según el relato de Hamburgo, nada ha cambiado fundamentalmente. Aunque el trabajo de Gödel tuvo un tremendo impacto en la formación de la lógica matemática moderna, sin embargo, fuera de esta disciplina, los matemáticos continúan deduciendo y probando teoremas de la misma manera que antes.
Curiosamente, el propio Gödel compartía en general la opinión de Russell. Dejando de lado las acusaciones de destrucción traicionera de los fundamentos de la ciencia matemática, respondió que sus teoremas solo condujeron a una reevaluación del papel de la personalidad y la intuición humana en aquellas áreas donde las leyes de la lógica habían gobernado previamente indivisiblemente, mientras que los fundamentos de los fundamentos eran y permaneció inquebrantable
En cuanto a la idea utópica de una clara formalización y algoritmización del conocimiento científico, en la que los trabajos de Gödel, de hecho, ponen una cruz audaz, muchos científicos encuentran que tal concepto en principio no tiene sentido. No importa cuán tentador pueda parecer el mainframe, generando y demostrando continuamente más y más teoremas nuevos, el epíteto "spam matemático", inventado por el matemático ruso y francés Alexander Chenes, es el más adecuado para los productos informáticos de dicho superordenador.
Alexander Shen, investigador principal del LIRMM CNRS, investigador asociado de la Escuela Superior de Economía
Después de todo, no solo la formulación misma de un teorema en particular y su demostración son importantes tanto para las matemáticas como para las ciencias en general, pero, y este es el Lo principal, su significado, que permite establecer una relación entre diferentes entidades y comprender en qué dirección avanzar y qué aplicación práctica se puede encontrar para los conocimientos adquiridos. En ausencia de tal comprensión, el valor de teoremas y descubrimientos dispares generados sobre la base de reglas formalizadas tiende a cero.
Los teoremas de Gödel hicieron que los científicos pensaran en el conocimiento limitado de una persona sobre sus propias capacidades mentales. Después de todo, sus trabajos pueden considerarse como una confirmación indirecta de que el pensamiento humano no está limitado de ninguna manera por un marco computacional formal, sino que también incluye una esfera "no computacional" hasta ahora desconocida, cuya manifestación es la intuición y las percepciones repentinas.
Uno de los defensores más consistentes de este punto de vista fue el físico y matemático británico, el premio Nobel de 2020 Roger Penrose. Es posible que no esté familiarizado con su trabajo, pero es casi seguro que escuchó (o tal vez jugó con una de sus variaciones cuando era niño) sobre el mosaico de Penrose, un mosaico no periódico y repetible que consta de solo dos elementos en forma de diamante.
El físico y matemático británico Roger Penrose de pie sobre un suelo pavimentado con un mosaico inventado por él
En 1989, Roger Penrose publicó una obra de divulgación científica muy entretenida "La nueva mente del rey", cuyo título no es más que una referencia a la cuento de Hans Christian Andersen "El vestido nuevo del rey", que cuenta la historia de un monarca que fue víctima de un cruel engaño, pero que no quiso admitirlo de ninguna manera, para no perder su dignidad. En este libro, Penrose expresó la opinión de que la conciencia humana no es puramente algorítmica, y los procesos que ocurren en ella pueden explicarse a fondo solo con la participación de los postulados de la física cuántica (en particular, un fenómeno como la reducción de von Neumann). Posteriormente, Penrose, junto con el neurocientífico Stuart Hameroff, desarrolló la teoría de la neurocomputación cuántica basada en el modelo de conciencia Orch-OR, en el que la actividad cerebral no se veía tanto como un proceso bioquímico como un proceso cuántico. Esta teoría fue detallada en el próximo libro de Roger Penrose, Shadows of the Mind.
Una consecuencia importante del razonamiento de Penrose es la imposibilidad fundamental en esta etapa del desarrollo de la tecnología informática para crear la llamada "inteligencia artificial fuerte" - IA con conciencia y autoconciencia, la capacidad de empatía y su propia motivación, es decir , como una persona. Dado que todo lo que las computadoras y los algoritmos modernos son capaces de hacer es solo un modelado más detallado y efectivo de la actividad lógico-formal del cerebro humano, la aparición de una IA "viviente" en toda regla, no debería esperarse ni siquiera en el caso de un aumento múltiple en el poder de la computación: tal resultado se logrará solo después de una revisión radical de las opiniones sobre la estructura y los principios del trabajo de la conciencia. Quizás, en un futuro lejano, la humanidad pueda resolver este problema. Pero esos recordarán¿Quién logrará hacer un avance científico tan grandioso, el nombre de Kurt Gödel, el que logró hacer que una persona mirara de manera diferente no solo el mundo que lo rodea, sino también a sí mismo?
PD:
Uno puede hablar interminablemente sobre Kurt Gödel, sobre sus obras y su visión del mundo; ni un artículo ni un libro completo bastarán para eso. Cualquiera que quiera conocer la forma de pensar y el legado del brillante científico, le recomendamos comenzar con el trabajo del matemático y escritor de ciencia ficción estadounidense Rudy Rucker "Infinity and Consciousness", cuyo original está en el público. dominio en el sitio web oficial del autor . Aquí encontrará no solo explicaciones detalladas y pruebas de los teoremas de incompletitud e inconsistencia, sino, lo más importante, las impresiones personales del autor de comunicarse con Kurt Gödel, que lo ayudarán a sentir y comprender mucho mejor lo que esta increíble persona vivió y respiró.
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