Suponga que tenemos una cadena de longitud ly masa M, suspendida por un extremo, como se muestra en la figura. Aquí asumiremos que la cadena es homogénea y las fuerzas de fricción pueden despreciarse. Construyamos un sistema de coordenadas de tal manera que el origen de las coordenadas coincida con el punto de suspensión, el eje X se dirija hacia abajo y el eje Y, perpendicular al eje X, será responsable de la desviación de la cadena respecto al eje X. vertical. De hecho, es necesario definir la función Y (x, t).
Para encontrar Y (x, t), anotemos las fuerzas que actúan sobre una pequeña sección de la cadena como se muestra en la siguiente figura.
Puede verse en la figura que la fuerza de tracción T es tangente a la cadena. Por lo tanto, la tangente del ángulo T al eje X será igual a la derivada dY (X) / dX. Se sabe que si las fluctuaciones son pequeñas, entonces la tangente es aproximadamente igual al ángulo en radianes. La fuerza de tracción T se puede calcular usando la fórmula
donde l es la longitud de la cadena, g es la aceleración debida a la gravedad y la
masa por unidad de longitud de la cadena.
Escribamos la ecuación a partir de la segunda ley de Newton
En el lado derecho de la ecuación, sustituya el valor de la tensión T sin el coeficiente correspondiente
Reemplace el valor de la derivada en el punto x + dx por la segunda derivada
Expanda los corchetes
y cancelar los términos correspondientes, eliminando también el término de segundo orden de pequeñez.
Sustituya la fórmula resultante en la ecuación de movimiento
Reduzca en dx y gravedad específica.
Tenga en cuenta que esta ecuación no depende de la gravedad específica, por lo tanto, todas las cuerdas y cadenas de igual longitud vibrarán de la misma manera, independientemente de la masa. Para resolver esta ecuación buscaremos una solución en la forma
Sustituyéndola en la ecuación de movimiento, obtenemos
Dividiéndola por gy la función en sí, obtenemos que una parte depende solo del tiempo y la otra solo de X. Por lo tanto, pueden equipararse a alguna constante.
Consideremos primero la parte que depende solo de X
Para resolver esta ecuación hacemos el cambio de variable
Entonces la primera derivada asume la siguiente forma
y la segunda derivada de esta
y la ecuación se puede reescribir en forma de
fácil de ver que esta ecuación se puede reescribir en la forma
Ya que no está claro qué tipo de ecuación, intente llevarla a alguna ecuación diferencial conocida.
Para ello, hacemos el cambio
En este caso, la primera derivada tendrá el siguiente formulario
y la ecuación en sí es como este
movimiento n al cuadrado de debajo de la derivada
y cancelarla
hacer la diferenciación y obtener la siguiente ecuación
Elegimos n de tal manera que no haya una variable libre en la derivada más alta.
Obtenemos
la siguiente ecuación Multiplica por 4 yz al cuadrado y obtenemos
Esto ya es similar a la conocida ecuación de Bessel, solo es necesario obtener deshacerse del factor de la propia función. Para hacer esto, hacemos otra transformación de la variable
En este caso, la primera derivada será igual
y la segunda derivada
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos
Si tomamos
entonces obtenemos la ecuación de Bessel de orden cero
La solución de dicha ecuación tiene la forma
donde A y B son constantes y J e Y son funciones de Bessel de orden cero. Sustituyendo la variable z de nuevo, obtenemos
Después de sustituir la variable u, tenemos la siguiente solución
y, finalmente, volviendo a la variable x,
usamos el hecho de que nuestra función debe ser finita en el punto x = l. Dado que la función Y (x) es infinita en cero, B debe ser igual a cero y nuestra solución tendrá la siguiente forma
Ahora usaremos la condición de que en el punto de suspensión el valor de nuestra función debe ser igual a cero, es decir, y (0 ) = 0.
De esto se deduce que
donde j son los ceros de la función de Bessel de orden cero. A partir de aquí, puede determinar el valor de la
lambda. Sustituyendo la labda, obtenemos
Lo que después de la reducción da sus propias funciones.
Démosle gráficas para los primeros cinco.
Ahora volvamos a esa parte de la ecuación inicial, que es responsable de la dependencia del tiempo. Conociendo los valores lambda, puede calcular las frecuencias naturales.
Al extraer la raíz, obtenemos que los
períodos correspondientes serán iguales
Compare esta expresión con el período de oscilaciones de un péndulo matemático.
Con esto concluye nuestro estudio de las oscilaciones de una cadena que cuelga libremente. Gracias por su atención.