Hoy, la NASA tuiteó un mensaje sobre el comienzo del movimiento del rover Perseverance a través del Planeta Rojo. El rover condujo unos metros para comprobar el chasis. Todo terminó bien, los sistemas están funcionando como deberían. Además, el rover ha fotografiado sus propias huellas. El tiempo total de llegada es de 33 minutos, durante los cuales el rover recorrió 6,5 metros.
Por lo que puede decir, el rover está funcionando bien. Pero, si recuerdas, el rover aterrizó en la superficie usando el Sky Crane. El sistema, que proporcionó un aterrizaje suave con la ayuda de los cables, en algún momento se separó del rover y se fue volando, utilizando las reservas restantes de combustible. Pero, ¿adónde fue exactamente y hasta dónde podría llegar? Vamos a contar tú mismo.
La NASA ya subió una foto de la plataforma que cayó a la superficie de Marte. La agencia conoce su ubicación exacta. Pero es genial calcular qué tan lejos se ha movido la plataforma, teniendo a su disposición los datos iniciales del aterrizaje y el video enviado por el rover.
Para los cálculos, usaremos el tamaño angular de la plataforma de aterrizaje.
En Habré no tiene sentido hablar sobre el tamaño angular, así que vayamos a los cálculos de inmediato.
Calcular el tamaño angular es muy simple, aquí está la fórmula.
¿Por qué necesitamos el tamaño angular? Bueno, si lo conocemos, además de conocer el tamaño real, entonces podemos determinar fácilmente la distancia al objeto: será r. La opción de cálculo ideal es usar solo una clavija plana, es más fácil realizar cálculos con ella. Pero como no tenemos una clavija, sino una plataforma, será un poco más difícil. Pero aún así, no debería haber problemas durante los cálculos.
Lo primero que debo hacer es determinar el campo de visión de la cámara del rover apuntando hacia arriba, no hay características exactas, así que hagamos una estimación aproximada. Aquí hay una plataforma con el rover suspendido de un cable antes de aterrizar.
Según la NASA, el cable tiene 6,4 metros de largo, por lo que conocemos el ® en esta foto. Además, podemos determinar la longitud del embarcadero. Si tomamos su ancho, es 2.69 metros, entonces el tamaño angular real, visto desde el rover, es 0.42 radianes. Usemos este número para establecer el ancho de todo el cuadro de video con un campo de visión angular (FOV) de 0.627 radianes (eso es 35.9 grados).
Todo esto es extremadamente importante para futuros cálculos. Con estos datos, puede medir el tamaño angular de la plataforma de aterrizaje y calcular la distancia al rover. Para hacer esto, puede utilizar una herramienta especial, Tracker Video Analysis. Permite analizar el tamaño de los objetos en el video. Construimos tal horario.
Uno pensaría que el gráfico sería parabólico, lo que mostraría una aceleración constante de la plataforma. Pero parece que no sucedió nada de eso: si la plataforma aceleraba, era mínima. Calculamos la velocidad y obtenemos unos 8,2 m / s.
¡Detener! Después de todo, tenemos algo más. El caso es que la plataforma de aterrizaje sale en ángulo, como se ha dicho más de una vez. Y esto tiene sentido: si la plataforma simplemente voló hacia arriba, luego de usar todo el combustible, toda esta estructura colapsaría hacia abajo, directamente sobre el rover. El video permite determinar el ángulo de inclinación. Aquí hay un gráfico y una fórmula que ayudan.
Usando la distancia conocida a los motores, así como la distancia aparente, obtenemos un ángulo de inclinación de 52 grados con respecto a la vertical. Esperemos que todo esté correcto, ya que este indicador es necesario para realizar más cálculos.
Movimiento de la plataforma
Ahora estamos preparados para abordar un importante problema físico. Suena así.
El módulo de aterrizaje en Marte está realizando una maniobra de salida para llegar a una distancia segura del rover Perseverance. El módulo pone en marcha los propulsores para alcanzar una velocidad de 8,2 m / s en un ángulo de lanzamiento de 52 grados desde la vertical. Si Marte tiene un campo gravitacional de 3,7 N / kg, ¿a qué distancia del rover caerá? Puede suponer que la resistencia del aire es insignificante.
Hay una formulación del problema. Ahora necesitamos una respuesta. El punto clave aquí es que el movimiento en la dirección horizontal (llamémoslo la dirección x) se realiza a una velocidad constante. En cuanto a la velocidad de descenso (dirección y), aquí tenemos una aceleración - g (donde g = 3.7 N / kg), causada por la fuerza de la gravedad. Dado que es constante y actúa solo verticalmente, podemos dividir la tarea en dos: de hecho, movimiento en el plano horizontal y movimiento en el vertical. Estos dos elementos de una tarea son independientes, están conectados solo por el tiempo.
Comencemos moviéndonos verticalmente.
Para realizar los cálculos requeridos, usamos el coseno. La siguiente ecuación para el movimiento con aceleración constante nos ayudará.
Las posiciones inicial y final son cero (esta es la superficie). Aquí hay una expresión para ayudar a determinar el tiempo.
Si usamos y0 con una distancia de 6.4 m (lo cual es realista), tenemos que usar la ecuación cuadrática. No es tan dificil. Pero también podemos utilizar el tiempo en el movimiento horizontal del vehículo de descenso. Aquí está la ecuación del movimiento horizontal.
La velocidad depende del seno del ángulo. Ahora puede dejar x0 en cero y reemplazar el tiempo con la expresión anterior. Como resultado, obtenemos esto.
Sustituyendo nuestros valores, encontramos que la distancia que se ha alejado la plataforma es de 17,6 metros. Pero no, este no es el caso en absoluto. Lo sabemos por las fotos publicadas por la NASA. Según las imágenes, la plataforma aterrizó a una distancia de aproximadamente un kilómetro del rover. Cambiamos la condición del problema.
Para no representar un peligro para el rover, la plataforma debe volar a una distancia de aproximadamente 1 km. Velocidad de descenso: 8,2 m / s con un ángulo de inclinación de aproximadamente 52 grados. ¿Qué altura alcanzará la plataforma antes de que se apaguen los motores? Usamos esta fórmula.
Ahora usamos el tiempo para resolver la siguiente ecuación.
Si realizamos cálculos, resulta que el indicador para un inicio vertical es de 43 km. ¿Porqué es eso? El caso es que la plataforma aceleró cuando se pusieron en marcha los motores.
Intentemos hacer algunos cálculos en Python. El cálculo consta de dos partes. Primero, durante un tiempo determinado, el cohete volará a una aceleración constante de 52 grados. Solo es necesario seleccionar el tiempo y la aceleración, y luego calcular la caída del cuerpo sobre la superficie de Marte. Aquí está el código del programa que hace todos los cálculos.
GlowScript 3.0 VPython
v0=8.2
g=3.7
theta=52*pi/180
x=1000
y0=.5*g*(x/(v0*sin(theta)))**2-x*cos(theta)/sin(theta)
tgraph=graph(width=550, height=350, xtitle="x-position [m]", ytitle="yx-Position [m]", title="Trajectory of Descent Stage Fly Away")
f1=gcurve(color=color.blue)
#starting position
x=0
y=6.4
#rocket firing time
tf=7
#rocket acceleration
a=6
#initial velocity
vy=v0*cos(theta)
vx=v0*sin(theta)
#time
t=0
dt=0.01
#rockets firing
while t<tf:
vy=vy+a*cos(theta)*dt
vx=vx+a*sin(theta)*dt
y=y+vy*dt
x=x+vx*dt
t=t+dt
f1.plot(x,y)
#to record max height
ymax=0
#projectile motion
while y>=0:
vy=vy-g*dt
y=y+vy*dt
x=x+vx*dt
if vy<0.1:
ymax=y
t=t+dt
f1.plot(x,y)
print("Descent Range = ",x," m")
print("Maximum Altitude = ",ymax," m")
print("Fly Away Time = ",t, " seconds")
Para los cálculos, tomamos la aceleración de la plataforma de 6 m / s 2 y el tiempo de funcionamiento de los motores en 7 segundos. Y obtenemos ya un valor normal de 964 metros, que ya es muy parecido a la verdad. Finalmente.
