💪 🥐 🦅 Teorema de Proth 🐸 🏖️ 👩🏼

Historia

François Prot (1852-1879) fue un agricultor autodidacta que vivió en el pueblo francés de Vaudevan-Damloux cerca de Verdun. El teorema considerado aquí es uno de los cuatro resultados que obtuvo que se pueden usar para probar la simplicidad de los números. Fue publicado en la revista científica francesa Comptes rendus de l'Académie des Sciences (Fig.1) en 1878. Protus probablemente tenía pruebas de sus resultados, pero no las presentó.

Definición

– . , , , . , , – .

– $k \ cdot2 ^ n + 1$ , norte – . , k <2 ^ n , . , 448 , $7 \ cdot2 ^ 6 + 1$ , 2 ^ 6> 7 .

: 3, 5, 9,13,17, 25, 33… - A080075.

, , : 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113… - A080076.

$10223 \ cdot2 ^ {31172165} +1$ , 9,383,761 . , , 2 ^ n-1 . 31 2016 Seventeen or Bust $k \ cdot2 ^ n + 1$ .

, . , ( $n \ cdot2 ^ n + 1$ ) k = n , ( $2 ^ {2 ^ n} +1$ ) – k = 1 .

pag – , , :

$a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$

. metro , $x ^ 2 \ equiv a ~ (\ text {mod} ~ m)$ . , , metro .

, , . , .

m> 2 – . , metro metro , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

, – once , : $2 ^ 5 = 32 \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ 11)$ . – once $3 ^ 5 = 243 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 11)$ .

. , . , .

norte – n-1 , $q> \ sqrt {n} -1$ . , $a ^ {n-1} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ n)$ norte $a ^ {(n-1) / q} -1$ , norte – .

. n = 7 . , . n-1 , . , . q = 3 . $3> \ sqrt {7} -1 \ approx1.65$ . norte , . a = 2 , $2 ^ {6} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 7)$ $2 ^ {(7-1) / 3} -1 = 3$ . , .

, uno . , , k> 1 . : $q ^ k> \ sqrt {n} -1$ .

, n = 17 . n-1 = 16 q = 2 . , $2> \ sqrt {17} -1 \ approx3,12$ . q = 2 k = 4 . : $2 ^ 4> \ sqrt {17} -1 \ approx3,12$ . , , , , : n = 17 – .

. , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

pag – . $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ . .

, pag , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

$a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

n = p = 2 ^ k + 1 . q = 2 n-1 .

, :

$a ^ {n-1} = \ left (a ^ {(n-1) / 2} \ right) ^ 2 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ n)$ –
$a ^ {(n-1) / q} -1$ –

$2 ^ k> \ sqrt {n} -1$ . n = p . .

. , , . , , , . .

, norte . , $a \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . $b = a ^ {(n-1) / 2}$ norte .

$b \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . , – .
$b \ not \ equiv \ pm1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ $b ^ 2 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . , , – , ( $b \ pm1, N$ ) .
$b ^ 2 \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . – .
$b \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . .

, . norte , 1/2 .

, . , norte . , 1,2, ..., N-1 norte (N-1) / 2 . , 1/2 . , norte – .

. N = 17 . . , a = 2 , b = 256 . norte . , $256 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ . . , .

a = 3 . b = 6561 $6561 \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ . , , N = 17 .

, norte – , , . , . «» . .

N = 9 , . . b = 16 . dieciséis N = 9 . , $16 \ equiv7 \ neq \ pm1 ~ (\ text {mod} ~ 9)$ . . , N = 9 .

-. , . , « », « ». , , . .

2008 , , $O ((k \ log k + \ log N) (\ log N) ^ 2)$ . "Proth.exe", .

norte N = r ^ et + 1 , – , – , $e, t \ geq1$ . r ^ e> t . , $a ^ {N-1} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ $a ^ {(N-1) / r} \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ , norte – .

. , N = 17 . $N = 17 = 2 ^ 4 \ cdot1 + 1$ . r = 2, ~ e = 4, ~ t = 1 . , . . a = 3 . :

$3 ^ {16} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ –
$3 ^ {8} \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ –

, , N = 17 .

Por supuesto, el teorema generalizado de Proth es aplicable a un gran número de grupos numéricos, pero la selección de las variables necesarias consume demasiado tiempo. Por tanto, en la práctica, el teorema clásico se utiliza con mucha más frecuencia.

Teorema de Proth

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