🎅 🤦🏻 🔩 ¿Qué tipo de bestia son las transformaciones afines? 💇🏻 😭 👄

Lo más probable es que cada uno de ustedes haya escuchado el término “transformaciones afines” al menos una vez en su vida. De hecho, todo el mundo habla constantemente de ellos: "invariancia a transformaciones afines", "aumento mediante transformaciones afines", "transformaciones afines en gráficos por ordenador", etc. Sin embargo, no todo el mundo puede responder de inmediato a una pregunta sencilla: "Díganos qué son las transformaciones afines en palabras sencillas".

¿Usted puede? De todos modos, discutamos un poco este tema.

¿Qué es la transformación afín?

Comencemos con los clásicos: definición de Wikipedia.

La transformación afín (del latín affinis "tocar, cerrar, adyacente") es un mapeo de un plano o espacio en sí mismo, en el que las líneas paralelas pasan a líneas paralelas, las líneas que se cruzan en líneas que se cruzan, las líneas que se cruzan en líneas que se cruzan.

Aclaremos un poco.

Primero, ¿qué significa "auto-mapeo" ? Esto significa que si estuviéramos en el espacio R ^ n , luego de la educación debemos permanecer en él. Por ejemplo: si aplicamos algún tipo de transformación de un rectángulo y conseguimos un paralelepípedo, y luego nos fuimos R ^ 2 en R ^ 3 . Pero si obtuvimos otro rectángulo del rectángulo, entonces todo está bien, mapeamos el espacio original en nosotros mismos. Formalmente se describe de la siguiente manera: "la transformación asigna el espacio R ^ n a R ^ n ". Si está escrito usando fórmulas $f: R ^ n \ flecha derecha R ^ n$ .

-, « »? , , . , . , . , . - .

, - . , : . , 2 . , . , - , .

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( ).

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. - . X ' y ' :

$\ begin {cases} x '= \ alpha x + \ beta y + \ lambda \\ y' = \ gamma x + \ delta y + \ mu \ end {cases}$

, $\ alpha, \ beta, \ gamma, \ mu$ :

$\ begin {pmatrix} \ alpha & \ beta \\ \ gamma & \ delta \ end {pmatrix}$

: , , ..

$\ begin {vmatrix} \ alpha & \ beta \\ \ gamma & \ delta \ end {vmatrix} \ neq 0$

$f: R ^ n \ flecha derecha R ^ n$ - f (x) = Mx + v , METRO - , $v \ en R ^ n$ . , , norte - .

, . .

- $\ alpha, \ beta, \ gamma, \ mu, \ delta, \ lambda$ ? .

$\ alpha = cos (\ alpha), \ beta = sin (\ alpha), \ gamma = -sin (\ alpha), \ delta = cos (\ alpha), \ lambda = \ mu = 0$ .

, METRO :

$\ begin {pmatrix} cos (\ alpha) & sin (\ alpha) \\ -sin (\ alpha) & cos (\ alpha) \ end {pmatrix}$

$\ begin {cases} x '= xcos \ alpha + y sin \ alpha \\ y' = -xsin \ alpha + y cos \ alpha \ end {cases}$

? , - $\ alpha$ . .. . .

-

METRO :

$\ begin {pmatrix} 1 / k_x & 0 \\ 0 & 1 / k_y \ end {pmatrix}$

$\ begin {cases} x '= x / k_x \\ y' = y / k_y \ end {cases}$

, , , 1 , 1. .

, k_x -1, Kentucky 1. ? , .

METRO (.. $\ alpha = \ delta = 1, beta = \ gamma = 0$ ). $\ lambda$ -dx , $\ mu = -dy$ .

, :

$\ begin {cases} x '= x - dx \\ y' = y - dy \ end {cases}$

, (dx, dy) . , , .

Este breve artículo te permitirá sentir un poco más fuertemente el "interior" de las transformaciones afines (eso esperamos). Después de leerlo, intente responder la pregunta que planteamos al principio: "Díganos qué son las transformaciones afines en palabras simples". ¿Usted puede ahora?

PD Por cierto, sería bueno no creer en nuestra palabra y verificarlo nosotros mismos, ¿y las matrices METRO que usamos definitivamente no son degeneradas? ¿Quizás hicimos algo ilegal en absoluto? ...

¿Qué tipo de bestia son las transformaciones afines?

¿Qué es la transformación afín?

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