Existen varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación polinomial de cuarto grado.
Sin embargo, no son muy convenientes para resolver ecuaciones con coeficientes, que son expresiones con parámetros.
1. Fórmula para resolver una ecuación de grado 4
Considere una ecuación de cuarto grado, cuya suma de raíces es igual a cero. Los coeficientes pueden ser reales o complejos.
El producto de los siguientes dos cuadrados es idéntico a la ecuación considerada del cuarto grado.
El valor R es la solución de la siguiente ecuación cúbica.
Casi la misma ecuación aparece cuando se resuelve una ecuación de cuarto grado al expandir la diferencia de cuadrados perfectos. A esta ecuación cúbica la llamaremos auxiliar.
Calculemos el producto de dos nuevos cuadrados.
Lo mismo, pero en forma de coeficientes a potencias de x (en orden decreciente de potencias).
Simplifiquemos las expresiones para los coeficientes en la segunda y primera potencias de x.
La expresión anterior corresponde al primer grado de x.
Como resultado, obtenemos k1.
La expresión anterior es para la segunda potencia de x.
O
sustituyendo la expresión por R ^ 3 obtenemos
Or k2.
Entonces, nuevo es idéntico a la ecuación del cuarto grado, cuya suma de raíces es igual a cero.
El problema con la ecuación cúbica auxiliar permanece.
Por supuesto, se pueden utilizar métodos de solución tradicionales. Pero luego será necesario transformar la ecuación a una forma canónica y considerar por separado tres soluciones en función de los valores de los coeficientes. Esto no siempre es conveniente para coeficientes que son expresiones con parámetros.
2. Solución de la ecuación cúbica por el método de transformación de Chirnhausen
Considere la solución de la ecuación cúbica por el método de transformación de Chirnhausen poco extendido.
Entonces, resolvemos la ecuación original
por el método de Chirnhausen.
La esencia del método consiste en las siguientes transformaciones.
1. Se introduce la ecuación para y
2. Ambos lados de la igualdad del elemento 1 se multiplican por x
Luego, la expresión para x ^ 3 se reemplaza por La
expresión
En general, las transformaciones descritas en la Sección 2 no son idénticas. Pero si consideramos solo los valores de x, que son las raíces de la ecuación original, interesantes, entonces estas transformaciones pueden considerarse casi idénticas. Y luego y está representado por una expresión que corresponde a las raíces de la ecuación original.
3. Para una ecuación cúbica, la operación en el ítem 2 se realiza una vez más. Como resultado, se obtiene un sistema de 3 ecuaciones en x, que tiene tres soluciones distintas de cero correspondientes a las raíces de la ecuación original. A partir de los coeficientes x formamos la matriz
4. Encuentre el determinante de la matriz, que está representado por una expresión cúbica en y.
Calculamos los valores que aseguran la igualdad del determinante a cero.
5. En la ecuación para y hay dos parámetros P y Q. Calculémoslos de modo que los coeficientes en el segundo y primer grado de y sean iguales a cero.
Cualquier P
, donde
6. Como resultado, tenemos una ecuación con tres raíces múltiples para y
7. Queda por resolver una ecuación cuadrática con y, P, Q conocidos
Una de las soluciones será una solución a la ecuación original.
3. Parámetros para resolver la ecuación cúbica auxiliar
Para valores específicos de los coeficientes, todo no parece tan aterrador.
Tenga en cuenta que solo se requiere una raíz R de la ecuación cúbica auxiliar para la fórmula para resolver la ecuación de cuarto grado.
Para los coeficientes específicos de la ecuación auxiliar, tenemos
Cuando se usa la fórmula para resolver una ecuación de cuarto grado, es necesario hacer referencia a - "Método ftvmetrics".
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