🦏 🤳🏾 😩 Patrones en la distribución de números primos 👰🏻 🐦 👨🏼‍🎨

Introducción

Un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales diferentes: uno y él mismo. Estos números son de gran interés. El hecho es que nadie ha podido comprender y describir completamente el patrón por el cual los números primos se ubican en una fila de números naturales.

Incluso antes de nuestra era, Euclides formuló y probó los primeros teoremas sobre números primos. Desde entonces, los matemáticos, entre ellos Gauss, Fermat, Riemann, Euler, han continuado su investigación y debemos rendirles homenaje por haber logrado importantes avances. Se han descubierto muchas propiedades interesantes de los números primos, se han hecho muchas suposiciones, algunas de las cuales han sido probadas. Sin embargo, muchas hipótesis relacionadas con los números primos siguen siendo infundadas.

Distribución de números primos

La tarea principal, cuya solución conduciría automáticamente a la solución de la mayoría de las preguntas relacionadas con los números primos, es la siguiente:

Obtenga una fórmula recurrente para el siguiente número primo

$p_ {n + 1} = f (n, p_1, p_2, ..., p_n),$

p _n - n -ésimo número primo ( p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , p ₃ = 5 , ...)

Existe un problema relacionado con el número de primos que no exceden un valor dado:

Encuentre una función p (x) cuyo valor en el punto x sea igual al número de primos en el segmento [ 1, x ] . Donde x es cualquier número real no menor que uno.

La función $\ pi (x)$ se llama función de distribución de números primos.

Hay muchos enfoques para resolver los problemas anteriores. Consideremos algunos de ellos.

, ( , ).

, , , , .

p₁ =2. 2, 2k+1, k – . — .

p₂ = 3. 3m+1, 3m+2, m – . , . , 2k+1.

$\ begin {matriz} {} {2k + 1 = 3m + 1, \\ 2k + 1 = 2m + 2,} \ end {matriz}$

k m , p₃ p = 6t + 1 , p = 6t + 5 , t – .

, :

$\ begin {array} {} {5 = 6 * 0 + 5, \\ 7 = 6 * 1 + 1, \\ 11 = 6 * 1 + 5, \\ 13 = 6 * 2 + 1.} \ end { formación}$

, 6t+1 6t+5 . , 25 = 6 * 4 + 1 .

p₃ = 5. , , 5, p₁ = 2 p₂ = 3, , p₄

$\ begin {matriz} {} {p = 30t + 1, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 11, \\ p = 30t + 7, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 17, \\ p = 30t + 13, \; \; \; \; p = 30t + 23, \\ p = 30t + 19, \; \; \; \; p = 30t + 29} \ end {matriz}$

p₄, p₅ .. , , .

, . , . , , .

, . F(x) , x p₁, p₂, …, p_n. ? ( ), p₁, p₂, … , p_n - p_n+1 ( ). , F(p_n+1 -1) = 1 ( — ), F(p_n+1) = 2 ( p_n+1). , F(x) , p_n+1.

, F(x)? . , p₁, p₂, …, p_n?

p₁ = 2. , $\ frac {1} {2}$ p₁.

3. , $\ frac {1} {3}$ p₂. , 2 3 .

, 2, 3

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} + \ frac {1} {p_1 * p_2} = 1 - \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2 * 3}.$

, :

$(1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2})$

, p₁, p₂, …, p_n,

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} -...- \ frac {1} {p_n} + \ frac {1} {p_1 * p_2} + \ frac {1} { p_1 * p_3} + ... + \ frac {1} {p_ {n-1} * p_ {n}} - \ frac {1} {p_1 * p_2 * p_3} -... + (- 1) ^ n \ frac {1} {p_1 * p_2 * ... * p_n}.$

$P (n) = (1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2}) (1- \ frac {1} {p_3}) ... (1- \ frac { 1} {p_n}) \ qquad \ qquad (1)$

P(n). , (n→∞), .

, F (x) = x * P (n) . , P(n) n . n 1 N, N - , P(n), .

? (1), , , p_n, $\ frac {1} {p_n}$ . . , 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. 4 9 . , $\ frac {4} {9}$ $\ frac {1} {2}$ . , , .

. , (, ) p_n+1- . , — . , , .

$n * ln (n) + n * ln (ln (n)) - \ frac {3} {2} n <p_n <n * ln (n) + n * ln (ln (n))$

n, 6.

$\ frac {x} {ln (x)} <\ pi (x) <1.25506 \ frac {x} {ln (x)}$

$\ pi (x)$ , - . , , . , .

. , , , , . - , .

. ( ). :

, 2, ?

2. -

p , p + 2 ?

, ?

p .

, 2020 . .

1.

: () ().

: , 5, .

2013 . 133 .

: , , .

, .

, . , . . 11 . .

: , , , ? . N, , .

$K \ geq N$ . p₁ p₂, K = p_1 + p_2 . , , , . p₁ – . — 2. , $2 + p_2 = K \ flecha derecha p_2 = K-2$ . , K-2 ( K ) . N, , , N-2, . . , $\ pi (n) \ sim \ frac {n} {2}$ n→ ∞. , $\ pi (n) \ sim n * ln (n)$ n→ ∞.