Clever Geek Handbook

Una explicación intuitiva de la integral. Parte I: de multiplicar números naturales a Newton y Leibniz

0. Prólogo

Las matemáticas son una rama del conocimiento versátil, poderosa y elegante. De hecho, su contenido y significado no se pueden compartir con las secciones más fundamentales de la filosofía: lógica, ontología y teoría del conocimiento. Por eso, concierne directa o indirectamente a todos los aspectos de cualquier conocimiento teórico o aplicado.





Desafortunadamente, sucedió que para muchos (y para mí) a veces parece una ciencia demasiado complicada, inaccesible para la élite. Mientras tanto, ¡solo parece que sí! Por supuesto, requiere esfuerzo intelectual, memoria, imaginación y mucho más, como muchas otras actividades intelectuales.





Sus características distintivas son:





  1. el uso de un sistema de signos especial (números, letras de diferentes alfabetos, reglas del idioma, etc.),





  2. rigor lógico (los conceptos, definiciones, juicios, reglas de inferencia se establecen de forma explícita y precisa),





  3. secuencia (no comprenderá el punto 3 si no comprende los puntos 1 y 2),





  4. alta densidad de información por unidad de texto (a menudo hay mucho más sentido en el texto que en textos de otro contenido).





Es fácil demostrar que cualquier persona desarrollada intelectualmente utiliza regularmente las mismas construcciones mentales que las matemáticas. Cuando decimos, consideremos diez operaciones cualesquiera (algoritmo) como una receta o un programa simple, o consideremos un caso especial de un fenómeno, determinemos sus propiedades, relaciones con otros fenómenos, estudiemos la estructura; recurrimos a formas universales de pensamiento que son características de cualquier conocimiento, incluido el matemático.





Este artículo nunca habría salido a la luz si la literatura educativa hubiera sido tan perfecta que pudiera explicar fácilmente qué es una integral. Después de leer decenas de libros y artículos, puedo decir con seguridad que ninguno de ellos explica todos los matices de este tema de tal manera que todo sea absolutamente claro para una persona promedio e inexperta.





:





  1. - , , , -





  2. , ….





  3. ( , , , , ..)









  5. ,





  6. , ,





  7. , «» ,





— , .





1.

. — , , , , , , .. , .





, .





« » «... , , , » [1].





. , .





, , , .





2. -

, , — -. - () (). - [2], , , ..





, . ( , XVI ), . , , , , , , , .





, ( ) . , , . , .





. <i> </i>. . , , — . - .





, , , .





, . :





  • . , 3 4, 3 × 4. — , [3].





  • .





    • — , . , 3,5 2, — 3,5 × 2. — , . , 3,5 3 2, 0,5 2. — , — , .





    • — . , 3,5 2,1 — 3,5 × 2,1, 3,5 2 3,5 0,1 [4]. , — , — .





    • (-2,3 × 4,3), — — 9,89 , , -9,89.





  • (3 × 3i), .





«» , , ( , , ), . — .





, , — .





, , , ( , ).





( , ). .





:





  • (): , , , , « ».





  • ( ): , . , (, . .).





, ( , ) ,





\ Sum \ approx S (x) \ approx S_1 (\ Delta x_1) + S_2 (\ Delta x_2) +… + S_n (\ Delta x_n) \ quad (ii.1) acumulativo

un segundo a = x_0 b = x_n.





, X ( — norte - )





\ lim_ {n \ flecha derecha + \ infty} S (x) = S_1 (\ Delta x_1) + S_2 (\ Delta x_2) +… + S_n (\ Delta x_n) \ quad (ii.2)

. , , . , .





, XVI ( , , ) XIX .





3.

, ? :





  1. , , . , ( ). , . , .





2. , , (). . , . . .





3. ().





4.

, , . () ().





.





, — X y = f (x)[5].





:





  • , — ( — ).





  • ( , x_1 f (x_1), x_2 f (x_2)





  • . ( ). ( , — f (x) = 3x + 2, f (x) = 3x ^ 2 + x + 10 ..).





  • — , , ..





.





(- ) ( ). un segundo .





, , . , , [6].





.





, [7]. -, ().





() . , , , — ()





v (t) = S '(t) = \ lim_ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta S} {\ Delta t} \ quad (iv. 1)

, . , . , .





dif \ quad S (t) \ rightarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 2) int \ quad S (t) \ leftarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 3)





.





int \ quad F (t) \ leftarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 4)

, , () (), [8].





, un segundo, — ,





\ Integral \ sum = F (b) - F (a) \ quad (iv. 5)

, ,





\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ quad (iv. 6)

[1]. .. . — .: , 1974. . 4





[2]. , , .





[3]. , , .





[4]. 3,5 · 2 + 3,5 · 0,2 = 3,5 (2 + 0,1) = 3,5 · 2,1





[5]. F , , z (x), función (x), Delta (x)— . F , — , .





[6]. - — X , - x_1, x_2, ..., x_n A (x) f (x) . , , f (x) A (x), A (x) = f '(x) F '(x) = f (x).





[7]. Eso es F (x_1) \ neq F '(x_1). Por ejemplo, supongamos que una función viene dada por una expresión F '(x) = 2x + 3. Entonces, cuando x_2 = 2, F '(x_2) = 9y el valor F (x_2) = 18. Si F '(x) = 0x + 3. Entonces, cuando x_2 = 2, F '(x_2) = 3y el valor F (x_2) = 6.





[8]. Deje que haya un punto, el número 7 y 10, para encontrar el tamaño del intervalo entre estos valores, necesita encontrar la diferencia, es decir, 10 - 7 = 3.







More articles:


All Articles