Los ejercicios de matemáticas puras llevaron a la creación de una teoría a gran escala sobre la estructura del mundo.
En algún momento a mediados del verano de 2016, el matemático húngaro Gabor Domokos entró en el porche de la casa de Douglas Jerolmak , un geofísico de Filadelfia. Domokosh llevaba maletas de viaje consigo, un fuerte resfriado y un secreto candente.
Un poco más tarde, dos hombres caminaron por el camino de grava en el patio trasero donde la esposa de Jerolmak tenía un carrito de tacos. La piedra caliza triturada crujió bajo sus pies. Domokosh señaló sus pies.
"¿Cuántas facetas tiene cada una de estas piedras?" - preguntó. Luego sonrió. "¿Y si te dijera que por lo general hay seis?" Y luego hizo una pregunta aún más general que esperaba que residiera permanentemente en el cerebro de su colega. ¿Y si el mundo está hecho de cubos?
Djerolmak se opuso al principio: tal vez las casas estén construidas con ladrillos, pero la Tierra está hecha de piedras. Y la forma de las piedras es obviamente diferente. La mica se desmorona en escamas, los cristales se rompen a lo largo de ejes rígidamente definidos. Sin embargo, Domokosh argumentó que las matemáticas puras por sí solas implican que cualquier piedra que se rompa al azar generará formas con un promedio de seis caras y ocho vértices. Si tomamos el promedio de todos ellos, tenderá a algún cubo ideal. Domokosh dijo que lo demostró matemáticamente. Ahora necesitaba que Jerolmak lo ayudara a demostrar que esto también sucede en la naturaleza.
"Fue una clara predicción geométrica, nacida de la naturaleza y sin física", dijo Jerolmak, profesor de la Universidad de Pensilvania. "¿Cómo diablos la naturaleza permitió esto?"
Durante los siguientes años, la pareja exploró su idea geométrica, explorando todo, desde fragmentos microscópicos de rocas hasta afloramientos de rocas geológicas, superficies planetarias e incluso el diálogo Timeo de Platón . Todo esto cubrió el proyecto con un toque de misticismo. Uno de los más grandes filósofos alrededor del 360 a. C. mapeó cinco sólidos platónicoscon cinco "elementos" del universo: tierra, aire, fuego, agua y materia estelar. Por afortunada coincidencia y / o previsión, Platón comparó los cubos, que están mejor apilados, con el suelo. "Y pensé, está bien, ahora ya hemos entrado un poco en el territorio de la metafísica", dijo Jerolmak.
Gabor Domokos y Douglas Jerolmak
Sin embargo, continuaron encontrando cuboides medianos en la naturaleza, así como varias formas que no parecían cubos, pero obedecían a la misma teoría. Como resultado, crearon una nueva plataforma matemática: un lenguaje descriptivo que expresa cómo se desmoronan las cosas. Publicado este año, su trabajo conjunto con el título se parecía a un volumen esotérico de la serie de Harry Potter: Platón's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation.
Varios geofísicos contactados por la revista dicen que la misma plataforma matemática podría usarse para otras tareas, como estudiar la erosión de las fallas rocosas o prevenir deslizamientos de tierra peligrosos. "Es muy interesante", dijo el geomorfólogo Mikael Attal de la Universidad de Edimburgo, uno de los dos revisores de este trabajo. Otro crítico, el geofísico David Furbisch de la Universidad de Vanderbilt, dijo: "Este tipo de trabajo me deja preguntándome si de alguna manera puedo aprovechar estas ideas".
Todas las posibles fallas
Mucho antes de su visita a Filadelfia, Domokosh tenía una pregunta matemática más inofensiva.
Digamos que rompiste algo en muchos pedazos. Ahora tiene un mosaico, un conjunto de formas que se pueden unir sin superposiciones ni roturas, como el piso de un antiguo baño romano. Además, suponga que todas las formas son convexas.
Al principio, Domokosh se preguntó si solo mediante la geometría era posible predecir en qué figuras consistiría en promedio un mosaico de este tipo. Luego quiso aprender a describir todos los demás conjuntos posibles de tales figuras.
En dos dimensiones, no es necesario romper nada para estudiar este tema. Toma un trozo de papel. Córtalo al azar dividiendo la hoja en dos. Luego haz un corte en cada uno de estos polígonos. Repite el proceso varias veces. Calcula el número promedio de vértices de cada hoja de papel.
Para una persona que estudia geometría, encontrar la respuesta a esta pregunta no será tan difícil. “Pongo una caja de cerveza para poder ayudarte a conseguir esta fórmula en un par de horas”, dijo Domokosh. En promedio, las piezas deben tener cuatro vértices y cuatro lados, y su forma promedio será rectangular.
El mismo problema puede verse en tres dimensiones. Hace unos 50 años, un físico nuclear ruso, premio Nobel de la Paz y más tarde disidente, Andrei Dmitrievich Sakharov reflexionó sobre el mismo problema cuando estaba cortando repollo con su esposa. ¿Cuántos vértices tendrá en promedio cada una de las piezas resultantes? Sajarov entregó esta tarea al legendario matemático soviético Vladimir Igorevich Arnold y a su alumno. Sin embargo, no encontraron una solución completa y sus intentos fueron en gran parte olvidados.
Cantos rodados de Moeraki en Nueva Zelanda
Domokosh, que no conocía su trabajo, escribió una prueba, cuya respuesta fueron cubos. Pero quería comprobar su exactitud. Decidió que si la respuesta a este problema ya existe, entonces debería estar escondida en el incomprensible trabajo de los matemáticos alemanes Wolfgang Weil y Rolf Schneider - un titán de 80 años del campo de la geometría [el título no está indicado en el original - aparentemente, se refiere al libro " Estocástico y geometría integral "/ aprox. por.]. Domokosh es un matemático profesional, pero el texto del libro era demasiado pesado incluso para él.
“Encontré a una persona que accedió a leerme la parte necesaria del libro y traducirlo de nuevo a humano”, dijo Domokosh. Allí encontró un teorema para cualquier número de dimensiones. Ella confirmó que los cubos aparecen en la respuesta en tres dimensiones.
Ahora Domokosh ha encontrado figuras promediadas que se obtienen cortando una superficie plana o un ladrillo tridimensional. Surgió una pregunta más general. Domokosh se dio cuenta de que también podía desarrollar una descripción matemática no solo de cifras promedio, sino también potencialmente de cualquiera: ¿qué conjunto de cifras, en principio, se puede obtener dividiendo un objeto?
Recordemos que las figuras obtenidas tras la desintegración del objeto son un mosaico. Se pueden unir sin solapamientos ni roturas. Los rectángulos en los que cortamos la hoja se pueden hacer fácilmente para que llenen el mosaico 2D. Los hexágonos también son capaces de esto, en el caso idealizado de un conjunto, que los matemáticos llaman " diagrama de Voronoi ". Pero el plano no se puede pavimentar con pentágonos u octágonos.
Geometría de Marte. Para analizar la superficie, en este caso, la superficie en forma de panal del cráter de Marte, los investigadores marcan todas las partes superiores y laterales. Cuentan el número de vértices para cada una de las celdas y el número de celdas para las que cada uno de los vértices es común.
Para clasificar correctamente los mosaicos, Domokosh comenzó a describirlos con dos números. El primero es el número promedio de vértices por celda. El segundo es el número medio de celdas diferentes para las que hay un vértice común. Entonces, por ejemplo, en un mosaico de mosaicos hexagonales, cada mosaico tiene seis vértices. Y cada vértice es común a tres hexágonos.
En los mosaicos, solo funcionan ciertas combinaciones de estos dos parámetros, lo que da una pequeña gama de figuras en las que algo puede, en principio, desintegrarse.
De nuevo, esta gama es bastante fácil de encontrar en dos dimensiones, pero mucho más difícil en tres. En el espacio tridimensional, los cubos se suman muy bien, pero hay otros tipos de formas, incluidas las que forman versiones tridimensionales del diagrama de Voronoi. Para no complicar demasiado el problema, Domokosh se limitó a un mosaico de celdas convexas regulares con vértices comunes. Como resultado, él y el matemático Zsolt Langi propusieron una nueva hipótesis al esbozar una curva que se ajusta a todos los mosaicos tridimensionales posibles. Publicaron el trabajo en Experimental Mathematics, "y luego se lo envié todo a Rolf Schneider, nuestra deidad", dijo Domokos.
Espacio de cubos. En tres dimensiones, la mayoría de las piedras se dividen en cubos con ocho vértices por celda. Un mapa de mosaicos admisibles de formas convexas con celdas regulares que tienen vértices comunes encaja en una franja estrecha. El área de formas cuboides está resaltada en rojo.
Vertical: el número de vértices por celda
Horizontal: el número de celdas comunes en cada vértice
“Le pregunté si necesitaba explicar cómo llegué a esa hipótesis, pero dijo que lo sabía”, se ríe Domokosh. "Fue cien veces más importante para mí que la aceptación de un artículo por cualquier revista del mundo".
Más importante aún, Domokosh ahora tenía una plataforma. Las matemáticas proporcionaron una forma de clasificar todas las formas de dividir superficies y bloques. Y la geometría predijo que si rompes una superficie plana por accidente, se dividirá en algo así como rectángulos. En tres dimensiones, la división resultará en algo así como cubos.
Pero para que todo esto le importe a alguien que no sea un pequeño grupo de matemáticos, Domokosh tuvo que demostrar que el mundo real también obedece estas reglas.
De la geometría a la geología
Para cuando Domokosh estuvo en Filadelfia en 2016, ya había logrado algo en la solución del problema en relación con el mundo real. Junto con colegas de la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest, recolectaron fragmentos de dolomita que se desprendieron de la roca Harmashhatar-hegy, ubicada en Budapest. Durante varios días, un trabajador de laboratorio, sin ningún prejuicio sobre los cubos, contó diligentemente el número de caras y vértices de cientos de piezas. ¿Qué puntuación media obtuvo? Seis caras, ocho picos. Domokos, junto con Janos Törok, un simulador por computadora, y Ferenc Kun, un experto en física de la fragmentación, descubrieron que los cuboides medianos aparecían en otros tipos de rocas, como el yeso y la piedra caliza.
Armado con matemáticas y evidencia física temprana, Domokosh lanzó su idea a un Jerolmak abrumado. "Me hipnotizó y todo lo demás desapareció por un tiempo", dijo Jerolmak.
Su alianza no era nueva. Hace muchos años, Domokosh ganó fama al demostrar la existencia de los Gömböts.- una divertida figura tridimensional, obstinadamente girando hacia una cierta posición de equilibrio. Para averiguar si Gömböts podría existir en realidad, atrajo a Jerolmak, quien ayudó a aplicar este concepto para explicar la forma redonda de los guijarros en la Tierra y Marte [Vladimir Arnold puso su mano aquí, planteando por primera vez la cuestión de la existencia de tales cuerpos / aprox. por.]. Ahora, Domokosh volvió a pedir ayuda para convertir algunos conceptos matemáticos teóricos en una piedra tangible.
Gömbötz es una figura homogénea tridimensional convexa con exactamente un punto de equilibrio estable y un punto de inestable
La pareja acordó un nuevo plan. Para probar la existencia de cubos platónicos en la naturaleza, necesitaban mostrar algo más que una coincidencia aleatoria de geometría y un puñado de guijarros. Necesitaban observar todas las rocas y luego esbozar una teoría convincente de cómo las matemáticas abstractas podían infiltrarse en una geofísica desordenada y luego en una realidad aún más desordenada.
Al principio, "todo parecía funcionar", dijo Jerolmak. Las matemáticas de Domokosh predijeron que los fragmentos de piedras deberían, en promedio, ser cubos. Un número creciente de fragmentos reales parecía encajar en esta teoría. Sin embargo, Jerolmak pronto se dio cuenta de que para probar la teoría era necesario lidiar con las excepciones a las reglas.
Después de todo, la misma geometría hace posible describir muchos otros patrones de mosaico, cuya existencia está permitida tanto en dos como en tres dimensiones. Djerolmak podría nombrar inmediatamente varios tipos de piedras reales, no similares a rectángulos y cubos, que aún podrían incluirse en esta clasificación más extensa.
Quizás estos ejemplos refutarían completamente la teoría del mundo cúbico. O, quizás más interesante, solo aparecerían en ocasiones especiales de las que los geólogos podrían aprender nuevas lecciones. "Dije que sé que no funciona en todas partes, y necesito saber por qué", dijo Jerolmak.
Durante los siguientes años, Jerolmak y su equipo, trabajando en ambos lados del Atlántico, comenzaron a marcar exactamente dónde caían piezas de roca de la vida real en la plataforma Domokosh. Al examinar superficies esencialmente bidimensionales (permafrost agrietado en Alaska, afloramientos de dolomita, grietas en un bloque de granito), encontraron polígonos que, en promedio, tenían cuatro lados y cuatro vértices, como el papel cortado. Cada uno de estos fenómenos geológicos parecía manifestarse donde las rocas simplemente se agrietaban. En esta área, la predicción de Domokosh se hizo realidad.
Universo de azulejos. Todos los mosaicos convexos posibles que cubren completamente el plano se pueden trazar contra el número promedio de vértices en un mosaico (eje y) y el número promedio de celdas que dividen un vértice (eje x). Ejemplos del mundo real:
6 - pavimento de gigantes , 7 - permafrost en Alaska, 8 - barro seco, 9 - superficie de granito.
Pero hubo un tipo de superficie plana que estuvo a la altura de las esperanzas de Jerolmac: fue una excepción con su propia historia. Las superficies planas cubiertas de suciedad se secan, se agrietan, se mojan, se aprietan y luego se vuelven a agrietar. Las celdas en tales superficies tienen, en promedio, seis lados y seis vértices, un diagrama de Voronoi aproximadamente hexagonal. Una apariencia similar tiene una superficie rocosa que apareció después de la solidificación de la lava, que se solidifica desde la superficie y hacia abajo.
Curiosamente, son precisamente estos sistemas los que se forman bajo la influencia de otras fuerzas que los exprimen, en lugar de empujarlos hacia adentro. La geometría revela características geológicas. Jerolmak y Domokosh creían que tal diagrama de Voronoi, aunque bastante raro, también podría aparecer en una escala mucho mayor de la que habían estudiado previamente.
El diagrama de Voronoi divide el plano en secciones separadas, cada una de las cuales consta de todos los puntos más cercanos al punto de partida.
Contando la corteza
Durante el desarrollo, el equipo se reunió en Budapest y pasó tres días frenéticos tratando frenéticamente de incluir más ejemplos de la vida real en el modelo. Djerolmak pronto mostró un nuevo patrón en la pantalla de la computadora: un mosaico de las placas tectónicas de la Tierra. Las placas se asientan en la litosfera, una piel casi bidimensional en la superficie del planeta. El patrón parecía familiar y Jerolmak llamó a otros para que lo admiraran. "Todos estábamos impactados", dijo.
A primera vista, parece que los dibujos de planos tienden al diagrama de Voronoi y no a la cuadrícula. Y luego el equipo hizo los cálculos. En un mosaico ideal de Voronoi de hexágonos en un plano, cada celda debe tener seis vértices. Las placas tectónicas reales tienen un promedio de 5.77 picos.
En este punto, el geofísico ya podía celebrar la victoria. Pero las matemáticas no me convenían. “El estado de ánimo de Doug estaba mejorando. Trabajó como si fuera un habitual, - dijo Domokosh. "Y al día siguiente estaba molesto porque estaba pensando en esta ruptura".
Por la noche, Domokosh se fue a casa, todavía devorado por esta diferencia. Volvió a anotar todos los números. Y de repente una revelación descendió sobre él. El mosaico hexagonal puede pavimentar el plano. Pero la Tierra no es plana, al menos fuera de algunos de los polémicos rincones de YouTube. Imagina una pelota de fútbol formada por pentágonos y hexágonos. Domokosh procesó los datos teniendo en cuenta la superficie esférica y descubrió que en la bola, las celdas del mosaico de Voronoi deberían tener un promedio de 5,77 vértices.
Esta idea ayudó a los investigadores a resolver una de las preguntas importantes y abiertas en geofísica: ¿cómo se forman las placas tectónicas de la Tierra? Algunos creen que estas placas son un subproducto de las corrientes de convección que se mueven profundamente en el manto. Sus oponentes creen que la corteza terrestre es un sistema separado. Se expandió, se volvió quebradizo y se rompió. Hacer coincidir las losas con un diagrama de Voronoi que se asemeja a una costra de lodo puede apoyar la segunda teoría, dijo Jerolmak. “También me dio una idea de lo importante que era ese trabajo”, dijo Attal. "Fenomenal."
Momento crucial
En tres dimensiones, hubo muy pocas excepciones a la regla del cubo. Y también podrían explicarse simulando fuerzas inusuales que empujan hacia afuera. Una formación claramente no cúbica se encuentra en la costa de Irlanda del Norte, donde las olas chocan contra decenas de miles de columnas de basalto. En irlandés se llama Clochán na bhFomhórach , un camino de piedras para seres sobrenaturales. En inglés se llama "el puente de los gigantes ".
Es importante que estas columnas y otras formaciones volcánicas similares sean hexagonales. Sin embargo, a juzgar por las simulaciones de Tyrok, los mosaicos similares a este pavimento son simplemente estructuras tridimensionales que crecieron a partir de la base bidimensional de los diagramas de Voronoi después de que la roca volcánica se enfrió.
Puente de gigantes en Irlanda del Norte
El equipo argumenta que si se toma una imagen completa, la mayoría de los mosaicos de la piedra agrietada se pueden clasificar usando rectángulos platónicos, diagramas de Voronoi bidimensionales y todos juntos: cubos platónicos en tres dimensiones. Cada uno de los patrones puede contar su propia historia geológica. Y, sí, dadas algunas peculiaridades, podemos decir que el mundo está hecho de cubos.
"Han validado debidamente su modelo con la realidad", dijo Martha-Carey Epps , especialista en ciencias de la Universidad de Carolina del Norte. "Mi escepticismo inicial se ha desvanecido".
“Las matemáticas nos dicen que si trituramos rocas, lo que queramos, por accidente o intencionalmente, todavía tenemos un conjunto limitado de opciones”, dijo Furbish. "¿No es eso inteligente?"
Quizás puedas tomar, por ejemplo, un lugar real que consiste en roca fracturada, contar los vértices y las caras, y luego sacar una conclusión sobre los procesos geológicos que estaban ocurriendo allí.
"Para algunos lugares, tenemos datos que nos permiten ver este tema desde este ángulo", dijo Roman Dibayas , geomorfólogo de la Universidad Estatal de Pensilvania. "Sería genial si pudiéramos sacar conclusiones de cosas que no son obvias, como el pavimento de los gigantes, simplemente golpear una piedra con un martillo y ver cómo se ven los fragmentos".
Jerolmak, quien al principio creyó que la conexión con los sólidos platónicos podría ser accidental, ahora aceptó esta hipótesis. Después de todo, al final, el filósofo griego creía que las formas geométricas correctas son necesarias para el conocimiento del Universo, aunque ellas mismas son invisibles a los ojos y aparecen solo en forma de sombras distorsionadas.
"Este es, literalmente, el ejemplo más obvio que se pueda imaginar. El promedio estadístico de todas estas observaciones es un cubo, dijo Jerolmak. "Pero ese cubo no se puede encontrar".