Olimpiada matemática. El Concurso Matemático William Lowell Putnam es un concurso matemático para estudiantes de pregrado que estudian en universidades (colegios) en los Estados Unidos y Canadá. La inspiración para los Juegos Olímpicos fue William Lowell Putnam, un abogado y banquero estadounidense. Celebrado por la Asociación Matemática de América anualmente desde 1938. Se otorgan premios en efectivo a los cinco mejores equipos universitarios (premio de primer lugar de $ 25,000) y a los veinticinco mejores estudiantes en la competencia individual (premio de primer lugar de $ 1,000).
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La Olimpiada dura dos veces durante 3 horas, 12 problemas en total, 10 puntos para cada uno. La nota promedio que obtienen los estudiantes es 1 o 2. Consideremos uno de los problemas más difíciles de esta Olimpiada.
Elija 4 puntos aleatorios en la esfera. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro de la esfera esté dentro del tetraedro formado por estos puntos?
Consideremos una versión bidimensional de este problema.
Considere 3 puntos aleatorios en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro del círculo esté dentro del triángulo?
Puedes fijar dos puntos y jugar con el tercero. Es fácil ver que existe una determinada zona, la proyección de los puntos anclados respecto al centro, dentro de la cual debe caer el tercer punto para que se cumpla la condición. El círculo se divide así en 4 partes. La probabilidad de golpear el tercer punto del arco es igual a la relación entre la longitud del arco y la circunferencia. ¿Cuánto mide el arco?
La probabilidad varía de 0 a 0,5 según la ubicación de los dos primeros puntos.
¿Cuál es la probabilidad media?
Arreglemos el primer punto y juguemos con el segundo. La probabilidad variará de 0 a 0,5, es decir, la probabilidad media será de 0,25.
Resolver el problema para un círculo y tres puntos: 25%.
¿Es posible transferir este enfoque a una esfera y 4 puntos?
Arreglamos tres puntos y jugamos con el cuarto. Dibujemos proyecciones de puntos fijos con respecto al centro y dividamos la esfera en 8 partes con planos.
El centro de la esfera estará dentro del tetraedro si el cuarto punto cae sobre el triángulo esférico verde, que está "opuesto" a los puntos fijos en relación con el centro. ¿Cuál es el tamaño medio de la sección verde?
// No pienses en nada más, improvisa.
Puede volver al caso bidimensional y pensar de dónde vino 1/4. ¿De dónde viene el 4?
Puede pasar de 3 puntos aleatorios en un círculo a otro problema. Elijamos dos diámetros aleatorios. Luego, para cada diámetro, tiramos una moneda, eligiendo así dónde estará el punto Pi, desde qué extremo del diámetro. Luego elegimos al azar el tercer punto del círculo.
Y luego otro movimiento astuto.
Primero seleccionemos el tercer punto al azar y luego seleccionemos al azar dos diámetros. Tendremos 4 opciones para colocar puntos P2 P1:
Pero solo una de estas 4 opciones contiene una solución cuando el centro del círculo está dentro del triángulo:
Cualquiera que elijamos la posición inicial aleatoria del tercer punto y dos diámetros, solo una de las opciones contiene el centro del círculo dentro del triángulo:
Así reformulamos el problema:
Con una esfera, obtenemos 8 opciones para elegir puntos, después de fijar el primer punto y elegir tres diámetros:
Solo 1 de 8 satisface la condición de que el centro de la esfera está dentro del tetraedro:
Respuesta: 1/8
- El álgebra lineal incondicional está aquí: capturando el origen con puntos aleatorios: generalizaciones de un problema de Putnam
- Todos los problemas de la Olimpiada de 1992: 53 ° Concurso de Matemáticas William Lowell Putnam
Sábado 5 de diciembre de 1992