“Recientemente comencé a experimentar con gnuplot y rápidamente hice un descubrimiento interesante. Tracé todos los números primos por debajo de 1 millón en coordenadas polares, por lo que para cada primo p (r, θ) = (p, p). No esperaba nada especial, solo lo probé. Los resultados son impresionantes ".
Si observa los números primos por debajo de 30.000, puede ver un patrón en espiral.
A modo de comparación, el mismo gráfico con números superpuestos, múltiplos de 3 y 7. Los números primos están resaltados en amarillo, los múltiplos de 3 y 7, en verde y rojo, respectivamente.
Lo realmente interesante es el comportamiento al aumentar el rango. Los múltiplos de este número parecen girar en espiral en el mismo patrón hasta el infinito, pero los números primos comienzan a formar rayos en grupos de 3 o 4.
En comparación con los múltiplos de 3 y 7:
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. , , .
(, θ) = (n, n), n∈N
Para empezar, puedes jugar con coordenadas polares y considerar todos los puntos con coordenadas enteras: (1,1) (2,2) ...
Obtenemos
la Espiral de Arquímedes: Si excluimos todos los números excepto los primos, obtenemos una galaxia espiral con espacios:
"Alejándonos" podemos ver rayos dirigidos en todas direcciones, principalmente en grupos de 4: las
espirales se pueden contar, hay 20 de ellas:
rayos A 280:
si tomamos todos los números, no solo los simples, entonces las espirales son aún más pares y hay 44:
en un examen más detenido tenemos 6 espirales:
todos los números que son múltiplos de 6 forman una rama:
El resto de los brazos espirales son 6k + 1, 6k + 2, etc. ¿Porqué es eso? Porque 6 es aproximadamente igual a (revolución completa) 2ℼ (6.28318530718). Esta pequeña diferencia crea la ilusión de una sola curva.
Si deja solo los números primos, solo habrá dos espirales (6k + 1 y 6k + 5):
6 - casi un círculo completo, 44 - una aproximación aún más precisa (44 / 2ℼ ≈ 7 círculos completos)
Solo para los números primos hay 20 mangas (44k +1, 44k + 3, 44k + 5 ...). Función de Euler φ (44) = 20.
710 / 2ℼ ≈ 113. (113.00000959)
Para números primos habrá espacios: cuanto
más nos alejemos , más clara será la curvatura de toda la estructura.
710 = 71 * 5 * 2. Esto explica la agrupación de 4 vigas (5) y los "dientes rotos del peine" (71):
función de Euler φ (710) = 280.
Según el teorema de Dirichlet, los números primos se distribuyen uniformemente sobre las mangas.
Conclusión
Jugando con la visualización, uno puede tropezar con a) el principio de Dirichlet b) aproximar el número ℼ (y fracciones continuas) c) alcanzar la función de Euler.
La forma de espiral es un artefacto asociado con un número par de radianes que coinciden.
Película con voz rusa:
PD
Más trabajo sobre números primos:
- Espacios delimitados entre primos . (Por Yitang Zhang, 2014)
- Primas en tuplas I (Por DANIEL A. GOLDSTON, JÁNOS PINTZ y CEM Y. YILDIRIM, 2009)
Fracciones continuas de Savvateev:
Alexey Savvateev "Todo sobre la escritura de números":