Durante miles de años, los matemáticos se han interesado por la cuestión de la existencia de números perfectos impares. En el proceso de estudiarlo, compilaron una increíble lista de restricciones para estos objetos hipotéticos. Pero pueden aparecer nuevas ideas a este respecto debido al estudio de otros objetos cercanos a ellos.
Si existen números perfectos impares, tendrán que satisfacer una lista absurdamente larga de limitaciones.Como
estudiante de secundaria, Pace Nielsen se enfrentó a una pregunta de matemáticas a mediados de los 90 con la que todavía lucha hasta el día de hoy. Pero no está molesto: el problema que lo fascinaba, la hipótesis de los números perfectos impares, ha permanecido abierto durante más de 2.000 años, lo que lo convierte en uno de los problemas matemáticos sin resolver más antiguos.
Parte de ese encanto duradero proviene de la simplicidad de la redacción. Un número se llama perfecto si es un entero positivo, n, cuyos divisores suman el doble del número, 2n. El primer y más simple ejemplo es 6, cuyos divisores 1, 2, 3 y 6 suman 12, o 2 * 6. Luego viene 28, con divisores de 1, 2, 4, 7, 14 y 28, dando un total de 56. Los siguientes ejemplos son 496 y 8128.
Leonard Euler formalizó esta definición en el siglo XVIII al introducir su función sigma, que es la suma de los divisores de un número. Por lo tanto, para números perfectos, σ (n) = 2n.
Leonard Euler formuló muchas reglas formales con respecto al trabajo con números perfectos. Sin embargo
, Pitágoras conocía los números perfectos desde el año 500 a. C., y dos siglos después, Euclides derivó una fórmula para obtener números perfectos. Mostró que si p y 2 p - 1 son números primos (cuyos divisores son solo 1 y este número en sí), entonces 2 p - 1 * (2 p - 1) será un número perfecto. Por ejemplo, si p = 2, entonces la fórmula da 2 1 * (2 2 - 1), o 6. Si p = 3, entonces la fórmula da 2 2 * (23 - 1), o 28 - los dos primeros números perfectos. 2000 años después, Euler demostró que esta fórmula da todos los números perfectos pares, aunque todavía se desconoce si el conjunto de números perfectos es finito o infinito.
Nielsen, ahora profesor en la Universidad Brigham Young, se dejó llevar por una pregunta relacionada: ¿existen los números perfectos impares? El matemático griego Nicomachus de Gerasa alrededor del año 100 d.C. declaró que todos los números perfectos deben ser pares, pero nadie ha probado esta afirmación.
Como muchos de sus colegas del siglo XXI, Nielsen cree que no hay muchos números perfectos. Y, junto a ellos, cree que la prueba de esta hipótesis no se obtendrá pronto. Sin embargo, en junio se encontróun nuevo enfoque de esta tarea, quizás capaz de llevarla más lejos. Y está asociado con el objeto más cercano a números perfectos impares de todos los descubiertos hasta ahora.
Red que se encoge
Nielsen aprendió por primera vez sobre los números perfectos en una competencia de matemáticas en la escuela. Profundizó en la literatura y se topó con el trabajo de 1974 de Karl Pomeranz , un matemático que ahora trabaja en el Dartmouth College. Demostró que cualquier número perfecto impar debe tener al menos siete factores primos diferentes.
“En mi ingenuidad decidí que podía hacer algo en esta área, si es que el progreso es posible”, dijo Nielsen. "Me inspiró a estudiar teoría de números en la universidad y tratar de progresar". Su primer trabajo sobre números perfectos impares, publicado en 2003, impuso restricciones adicionales a estos números hipotéticos. se mostróque no solo el número de números perfectos impares con k divisores primos diferentes es finito, como demostró Leonard Dixon en 1913, sino también que el tamaño de este número no debe exceder de 2 4 k .
Y esta no fue la primera ni la última limitación impuesta a los hipotéticos números perfectos impares. Por ejemplo, en 1888, James Sylvester demostró que un número perfecto impar no puede ser divisible por 105. En 1960, Carl K. Norton demostró que si un número perfecto impar no es divisible por 3, 5 o 7, debe tener al menos 27 factores primos. Paul Jenkins en 2003 demostróQue el divisor primo más grande de un número perfecto impar debe ser mayor que 10 000 000. Pascal ochem y Mihaol Rao luego encontraron que el número perfecto impar debe ser mayor que 10 1500 , y luego empujaron el límite a 10 2000 . Nielsen demostró en 2015 que un número perfecto impar debe tener al menos 10 divisores primos diferentes.
Pace Nielsen, matemático de la Universidad Brigham Young
Incluso en el siglo XIX, la cantidad de restricciones era tal que Sylvester concluyó que "la aparición de un número perfecto impar, una especie de escape de la compleja red de condiciones que lo rodean por todos lados, sería casi un milagro". Después de más de cien años de tal desarrollo de eventos, la existencia de tales números plantea aún más dudas.
"Probar la existencia de algo es fácil si puede encontrar un solo ejemplo", dijo Jon Voight , profesor de matemáticas en Dartmouth. "Pero demostrar que algo no existe puede ser muy difícil".
El enfoque principal hasta ahora ha sido comparar todas las condiciones que limitan los números perfectos impares para averiguar si algún par de ellos es incompatible, es decir, que ningún número puede satisfacer ambas restricciones a la vez. "El mosaico de condiciones que hemos obtenido hasta la fecha hace que los números perfectos impares sean extremadamente improbables", dijo Voight, haciéndose eco de Sylvester. "Y Pace ha estado agregando nuevos elementos a esta lista durante muchos años".
Desafortunadamente, aún no se han encontrado propiedades incompatibles. Por lo tanto, además de las restricciones adicionales sobre los números perfectos impares, los matemáticos probablemente necesitarán nuevas estrategias.
Con este fin, Nielsen ya está considerando un nuevo plan de ataque basado en una táctica común de los matemáticos: el estudio de muchos números a través del estudio de sus parientes cercanos. En ausencia de números perfectos impares adecuados para el estudio directo, él y el equipo estudian "imitaciones" de números perfectos impares, que son muy similares a los reales, pero tienen algunas diferencias interesantes.
Entender los números perfectos
- . σ(n) = 2n, .
:
σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .
σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .
1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .
2. σ(pa) = 1 + p + p2 + … + pa p a.
:
σ(20) = σ(22 × 5) = σ(22) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 22)(1+5) [ ] = 42
σ (28) = σ (2 2 × 7) = σ (2 2 ) × σ (7) [según la primera regla] = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 7) [según la segunda regla] = 56
Nuevas señoritas seductoras
La primera imitación de un número perfecto impar fue encontrada en 1638 por René Descartes , y fue uno de los primeros matemáticos destacados que consideró posible la existencia de números perfectos impares. "Creo que Descartes estaba tratando de encontrar números perfectos impares, y sus cálculos lo llevaron a la primera imitación", dijo William Banks , un teórico de números de la Universidad de Missouri. Aparentemente, Descartes esperaba que el número que creó pudiera cambiarse para obtener un número perfecto impar real.
Pero antes de sumergirnos en la imitación cartesiana, es útil comprender un poco cómo los matemáticos describen los números perfectos. El teorema del tiempo de Euclides establece que cualquier número entero mayor que 1 puede expresarse como un producto de números primos elevados a ciertas potencias. Por ejemplo, 1260 se puede factorizar así: 1260 = 2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 , y no enumerar los 36 factores por separado.
Una vez que un número toma esta forma, resulta mucho más fácil calcular la función sigma de Euler que suma sus divisores, gracias a dos fórmulas que Euler también demostró. Primero, demostró que σ (a × b) = σ (a) × σ (b) si y solo si ayb son coprimos, es decir, no tienen divisores primos comunes. Por ejemplo, los números 14 (2 × 7) y 15 (3 × 5) son primos relativos. En segundo lugar, mostró que para cualquier número primo p en un grado entero positivo a, σ (p a ) = 1 + p + p 2 +… + p a .
Volviendo a nuestro ejemplo anterior, σ (1260) = σ (2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 ) = σ (2 2 ) × σ (3 2) × σ (5 1 ) × σ (7 1 ) = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 3 + 3 2 ) (1 + 5) (1 + 7) = 4 368. Tenga en cuenta que en este caso σ (n) no es igual a 2n, lo que significa que 1260 no es un número perfecto.
René Descartes encontró la primera imitación de un número perfecto
Ahora podemos analizar la imitación cartesiana: el número 198 585 576 189, o 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22021 1 . Repitiendo los cálculos anteriores, encontramos que σ ( 198585 576189 ) = σ (3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22.021 1 ) = (1 + 3 + 32 ) (1 + 7 + 7 2 ) (1 + 11 + 11 2 ) (1 + 13 + 13 2 ) (1 + 22.021 1 ) = 397 171 152 378. Y esto es igual al doble del número original, lo que significa que debe ser un número perfecto real; solo el número 22.021 no es primo.
Por tanto, este número de Descartes es una imitación. Si pretendemos que 22.021 es primo y aplicamos las reglas de Euler a la función sigma, el número de Descartes se comporta como un número perfecto. Sin embargo, 22 021 es en realidad el producto de 19 2 por 61. Si pudiéramos escribir correctamente el número de Descartes como 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 19 2 × 61 1, entonces σ (n) no sería igual a 2n. Al debilitar algunas de las reglas, obtenemos un número que parece satisfacer nuestros requisitos; esta es la esencia de la imitación.
Se necesitaron 361 años para descubrir el segundo número de imitación de un número perfecto impar. Voight hizo esto en 1999 y publicó el descubrimiento cuatro años después. ¿Porque tan largo? “Encontrar un número de imitación es como encontrar un número perfecto impar; ambos son igualmente complejos aritméticamente ”, dijo Banks. Y su búsqueda no era una prioridad para los matemáticos. Sin embargo, Voight se inspiró en un extracto de Problemas no resueltos en teoría de números de Richard Guy, donde escribió sobre la búsqueda de nuevas imitaciones. Voight lo intentó y terminó encontrando una nueva imitación, 3 4 × 7 2 × 11 2 × 19 2× (−127) 1 , o −22 017 975 903.
A diferencia del ejemplo de Descartes, aquí todos los divisores son primos, pero uno de ellos es negativo; por lo tanto, este número es una imitación, no un verdadero número perfecto impar.
Simular números perfectos impares
:
198 585 576 189, 32 × 72 × 112 × 132 × 22 0211.
-: σ(198 585 576 189) = σ(32 × 72 × 112 × 132 × 22,0211) = (1 + 3 + 32)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 13 + 132)(1 + 22,0211) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.
22 021 , 192 × 61. .
:
−22 017 975 903, 34 × 72 × 112 × 192 × (−127)1.
-: σ(−22 017 975 903) = σ(34 × 74 × 112 × 192 × (-127)1) = (1 + 3 + 32 + 33 + 34)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 19 + 192)(1 + (-127)1) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903
-127 – , – .
Después de que Voight celebró un seminario en la Universidad Brigham Young en diciembre de 2016, discutió este número con Nielsen, Jenkins y otros. Poco tiempo después, el equipo universitario emprendió una búsqueda computacional sistemática de otras imitaciones. Elegirían las bases y exponentes más pequeños, como 3 2 , y luego las computadoras peinarían variantes de bases y exponentes adicionales que simularían un número perfecto. Nielsen decidió que este proyecto sería simplemente una experiencia de investigación estimulante para sus estudiantes, pero los resultados del análisis superaron sus expectativas.
Examinando las posibilidades
Después de ejecutar 20 procesadores de forma continua durante tres años, el equipo descubrió todas las imitaciones posibles de un número perfecto que podría escribirse utilizando seis o menos bases (21 en total, incluidos ejemplos de Descartes y Voight) y dos simulaciones más con siete divisores. La búsqueda de simulaciones con una gran cantidad de divisores en computadoras no era práctica y requería demasiado tiempo. Sin embargo, el grupo ha recopilado suficientes ejemplos para descubrir propiedades de imitaciones previamente desconocidas.
El grupo encontró que para cualquier número dado de bases k, hay un número finito de imitaciones, que coincide con el resultado de Dixon de 1913 para números perfectos impares reales. "Sin embargo, si k llega al infinito, el número de imitaciones también se vuelve infinito", dijo Nielsen. Esto fue inesperado, agregó, dado que al comenzar este proyecto, no estaba seguro de descubrir ni una nueva imitación extraña, y mucho menos demostrar que su número es infinito.
Otra sorpresa derivada de un resultado probado por primera vez por Euler: todas las bases primas de un número perfecto impar, excepto uno, deben tener grados pares. Uno debe tener un grado impar, esto se llama grado de Euler. La mayoría de los matemáticos creen que el grado de Euler para números perfectos impares es siempre 1, pero el equipo ha demostrado que las simulaciones pueden tener el tamaño que deseen.
El equipo encontró algunos de los hallazgos al flexibilizar los requisitos en la definición de imitación, ya que no hay reglas matemáticas claras para describirlos, solo que deben satisfacer la igualdad σ (n) = 2n. Los investigadores permitieron la existencia de bases no primarias (como en el ejemplo de Descartes) y bases negativas (como en el ejemplo de Voight). Sin embargo, fueron más allá al permitir que las imitaciones tuvieran varias bases iguales. Una raíz, por ejemplo, podría ser 7 2 y la otra 7 3 , y se escriben por separado, no como 7 5 . O dejan que las razones se repitan, como en la imitación 3 2 × 7 2 × 7 2 × 13 1 × (−19) 2... El término 7 2 × 7 2 se puede escribir como 7 4 , pero entonces la simulación fallará, porque la expansión de los paréntesis en la función sigma modificada sería diferente.
Dada la diferencia significativa entre las imitaciones y los números perfectos impares reales, uno podría preguntarse: ¿cómo ayudan las primeras a encontrar las segundas?
¿El camino a seguir?
Nielsen dijo que las imitaciones son generalizaciones de números perfectos impares. Los números perfectos impares son un subconjunto dentro de una familia más grande, que incluye imitaciones, por lo que los números perfectos impares deben tener todas las propiedades de las imitaciones, así como restricciones adicionales, incluso más estrictas (como, por ejemplo, la condición de que todos los motivos deben ser simples). ...
"Cualquier comportamiento del conjunto más grande debe seguirse para el subconjunto más pequeño", dijo Nielsen. "Entonces, si encontramos un comportamiento de imitación que no se aplica a una clase más limitada, podemos descartar automáticamente la posibilidad de números perfectos impares". Si, por ejemplo, se puede demostrar que todas las simulaciones son divisibles por 105, lo cual es imposible para números perfectos impares, como mostró Sylvester en 1888, entonces el problema estará resuelto.
Sin embargo, hasta ahora no han tenido éxito. "Hemos descubierto nuevos hechos acerca de las imitaciones, pero ninguno de ellos niega la existencia de números perfectos impares", dijo Nielsen, "aunque esta posibilidad aún permanece". Al analizar más a fondo las imitaciones conocidas actualmente y, posiblemente, complementar su lista en el futuro, Nielsen (y ambas direcciones se están desarrollando gracias a él) y otros matemáticos pueden descubrir nuevas propiedades de las imitaciones.
Banks considera que este enfoque vale la pena. "Explorar imitaciones extrañas puede ser útil para comprender la estructura de los números perfectos impares, si los hay", dijo. "Y si no hay números perfectos impares, estudiar imitaciones extrañas puede conducir a una prueba de esto".
Otros expertos en números perfectos impares no son tan optimistas. El equipo de la Universidad Brigham Young “hizo un gran trabajo”, dijo Voight, “pero no estoy seguro de que estemos cerca de atacar el problema del número perfecto impar. Esta es realmente una tarea para las edades, y es probable que lo siga siendo ".
Paul Pollack , matemático de la Universidad de Georgia, también es cauteloso: “Sería genial si pudiéramos mirar la lista de simulaciones y ver algunas de sus propiedades, y demostrar de alguna manera que los números perfectos impares con esta propiedad no existen. Sería un sueño, pero parece demasiado bueno para ser verdad ".
Nielsen estuvo de acuerdo en que había pocas posibilidades de éxito aquí, pero para resolver este antiguo problema, los matemáticos deben intentarlo todo. Además, el estudio de las imitaciones apenas comienza. Su grupo ha dado algunos pasos iniciales y ya ha descubierto propiedades inesperadas de estos números. Por tanto, se muestra optimista sobre la posibilidad de descubrir "estructuras ocultas" adicionales dentro de las imitaciones.
Nielsen ya ha identificado una táctica plausible basada en el hecho de que todas las imitaciones encontradas hasta la fecha, aparte del ejemplo original de Descartes, tienen al menos una base negativa. Si probamos que todas las demás imitaciones deben tener una base negativa, entonces esto prueba que los números perfectos impares no existen, ya que, por definición, sus bases deben ser simples y positivas.
“Esta parece una tarea más difícil”, dijo Nielsen, ya que toca una categoría de números más grande y más general. "Pero a veces, cuando transformas un problema en uno aparentemente más difícil, puedes ver el camino hacia la solución".
En teoría de números, se requiere paciencia; a veces, la pregunta es fácil de hacer pero difícil de responder. "Tienes que pensar en la tarea, a veces durante mucho tiempo, y prestarle especial atención", dijo Nielsen. - Estamos avanzando. Estamos cavando una mina. Esperamos que si excavamos lo suficiente podamos encontrar un diamante ".