Imagínese que alguien toma una tira de película fotográfica de N cm de largo y decide observar cómo las partículas que vienen del espacio dejan sus huellas en ella. La escala de densidad de probabilidad experimental de película descendente sobre las partículas se describirá en una distribución uniforme en el intervalo de 0 a N . En este experimento, el experimentador le dice la distancia k entre el borde izquierdo de la película y el punto donde chocó la primera partícula registrada. Al igual que antes, se le requiere para dar una estimación razonable de lo desconocido que de N .
Para resolver este problema, se hizo la siguiente suposición:
Imagine ahora que en un experimento la distancia desde el punto de impacto de la partícula hasta el borde izquierdo de la película fotográfica era igual a P1 , y en otro experimento, P2 , con P1 <P2 . ¿No sería razonable entonces dar una estimación más pequeña de la longitud de la película fotográfica en el primer experimento que en el segundo?
Me preguntaba en números: ¿es siempre y cuán razonable es?
Estas notas no son una continuación y discusión del artículo del que se toma la cita, sino un intento de ver cómo la formulación del problema en sí, las restricciones introducidas, los supuestos y condiciones adoptados en la etapa de formalización afectarán la respuesta recibida. No daré fórmulas y trataré de no usar términos especiales, me parece que el problema mismo de la dependencia del resultado de los supuestos aceptados o no aceptados será más claramente visible.
Para empezar, modificaré, simplificaré y fundamentaré el experimento.
Fate o nuestro asistente tiene una bolsa en la que hay barriles numerados en orden, como en una lotería. El asistente (es más fácil para mí imaginarlo que el destino) secretamente de nosotros saca un barril al azar y vierte en el primer cofre las bolas numeradas de acuerdo con el número del barril. Luego, repite el procedimiento de sacar el barril al azar y vierte el número apropiado de bolas numeradas en el segundo cofre. Hay dos cofres frente a nosotros con un número desconocido de bolas en cada uno de ellos. Sacamos al azar una bola del primer cofre y una del segundo cofre, y asumimos razonablemente que la bola de número alto corresponde al cofre con un gran número de bolas.
Estimemos qué tan razonable es la suposición.
Formalicemos y refinemos el problema
1. Dado que los barriles están en la bolsa, deben limitarse a algún número. Teniendo en cuenta la fuente original sobre el número de líneas de tranvía, hasta ahora el número de barriles se ha limitado a 30.
2. Pero, ¿qué debemos hacer si sacamos bolas con el mismo número de los cofres? Tenemos opciones:
2.1 reconocer el resultado como infructuoso, no tomar decisiones y pedirle al asistente que haga un nuevo llenado de cofres.
2.2 lanza una moneda y decide al azar qué cofre tiene más bolas. No habrá resultados desafortunados en esta opción.
2.3 decide que dado que los números son los mismos, entonces el número de bolas en los cofres también es el mismo. Tampoco habrá resultados fallidos en esta opción.
Aquí quiero señalar que no elijo qué opción es mejor. Mi objetivo es ver cómo las diferentes opciones afectarán la respuesta.
3. Dado que tenemos un número diferente de resultados, surge la pregunta: "¿Y de qué número de resultados contar la proporción de respuestas correctas?" ¿De todas las experiencias o solo de los resultados exitosos? Cuentemos ambas opciones.
4. El asistente sacó el primer barril, miró el número y vertió el número correspondiente de bolas en el primer cofre. ¡Detener! ¿Y luego qué hizo con el barril retirado? Tiene dos opciones: volver a poner el barril en la bolsa o no volver a ponerlo en la bolsa. O lo que es lo mismo, el asistente podría sacar dos barriles a la vez y verter bolas en los cofres según los números sacados en los barriles, los asistentes son vagos, pero no vemos lo que está haciendo allí. En este caso, nunca tendremos la misma cantidad de bolas en los cofres y, por lo tanto, resultados infructuosos. Este punto se desvía claramente de la tarea de la cotización, donde el barril vuelve a meterse en la bolsa, pero yo tengo otros objetivos, y no devolver el barril es una situación típica en la vida, calcularemos esta opción.
Entonces, tenemos tres opciones sobre cómo contar los resultados del experimento en el que el número de bolas es el mismo, dos opciones para calcular la proporción de respuestas correctas y dos opciones para llenar los cofres con bolas. ¡Un total de 12 variantes de los resultados del experimento!
¿Cómo dependerá la probabilidad de la respuesta correcta del número de barriles en la bolsa del destino, es decir, del número máximo posible de bolas en el cofre? ¿Quizás todas las opciones sean las mismas? ¿Quizás las opciones tendrán la misma tendencia? Fue en este momento que traté de poner a prueba mi intuición llenando la siguiente placa:
Resultó, corriendo adelante, que debía entrenar y entrenar mi intuición. Limpié el plato de muchas de mis consideraciones.
Para no cansarme de fórmulas que, aunque bonitas, son recurrentes, y no puedo reducir las fórmulas recurrentes a cerradas, describiré el algoritmo de cálculo general:
1. Para cada número de barriles en una bolsa, podemos hacer una lista de todas las opciones para llenar cofres con bolas.
Ejemplo: si el número de barriles es 4, obtenemos 16 opciones para llenar dos cofres por el número de bolas: 1 y 1, 1 y 2, 1 y 3, 2 y 1, 2 y 2 ... 4 y 4.
2. Para cada variante de llenar los cofres, contamos el número de respuestas correctas para tres variantes de contar bolas iguales.
Ejemplo: Para llenar los cofres 2 y 3, (en el primer cofre hay 2 bolas, en el segundo 3) obtienes la siguiente tabla.
3. Para el número seleccionado de barriles, sume todas las respuestas correctas para cada opción para llenar los cofres.
4. Calculamos la proporción de los correctos para las dos opciones de conteo (en relación al número total de experimentos y al número de exitosos).
5. También contamos puntos del 3 al 4 para la opción cuando el barril no vuelve a la bolsa, es decir, cuando no podemos tener igual número de bolas en los cofres.
Conté el número de barriles de 1 a 8 y 30 para mostrar la tendencia. Aquí están los gráficos.
Primero para la opción cuando el barril se devuelve a la bolsa
Con un aumento en el número de barriles en la bolsa y, en consecuencia, un aumento en el número posible de bolas en los cofres, aumenta la probabilidad de una evaluación correcta y disminuye la diferencia entre las opciones. Curiosamente, la probabilidad no siempre es superior a 0,5. El gráfico amarillo también es curioso, hay un descenso y solo entonces un aumento. En general, el rango de 1 a 7 no me resultó obvio.
Resulta que si hay menos de 8 bolas, entonces para la variante de conteo “Los iguales se consideran un fracaso. El porcentaje de correctas se cuenta de todos los experimentos "una respuesta aleatoria dará un mejor resultado que seguir la regla" Más número de bolas significa que el cofre contiene más bolas ".
Gráficos para la opción cuando el barril no vuelve a la bolsa y por tanto no puede haber el mismo número de bolas en los cofres
Los gráficos son tres, ya que los dos son iguales, están marcados en rojo.
¡Para cuatro opciones, la probabilidad de una respuesta correcta cae y tiende, aparentemente, a 0.5! (?) En otras palabras, en estas opciones para una gran cantidad de bolas en cofres, no se puede realizar el experimento en absoluto, sino simplemente lanzar una moneda, el resultado es el mismo. En realidad, por el bien de esto, decidí calcular varias opciones, esperaba algunas sorpresas. No tengo pruebas rigurosas de que la probabilidad tienda exactamente a 0,5. Esta es de nuevo mi intuición, y a menudo falla.
Quiero enfatizar nuevamente que estas notas no se tratan de elegir la estrategia correcta o evaluar qué opción es mejor. El interés era ver el efecto de diferentes opciones para establecer condiciones en el resultado.
PD Como quería, me las arreglé para no usar fórmulas y usar un término especial: una fórmula recurrente solo una vez.
PPS Si eres demasiado vago para ver Wikipedia, entonces la fórmula recurrente es cuando debes llegar a la casa número 30, pero primero debes visitar todas las casas anteriores con números del 1 al 29.