💒 🕵🏽 🤴🏽 Representación geométrica de la curvatura del espacio en la métrica de Schwarzschild 🕴🏼 👩🏿‍💻 👍

... o dos más dos son cuatro.

Para entender el artículo, basta con un curso de matemáticas en la escuela.

La forma del factor en la métrica de Schwarzschild me ha perseguido durante mucho tiempo con su exquisita duplicidad, y decidí dedicar algo de tiempo a encontrar formas de transformarlo. La métrica de Schwarzschild en sí se obtiene como resultado de resolver la relatividad general para el caso del vacío (el tensor de energía-momento es cero):

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Describe el continuo espacio-tiempo en la vecindad de un objeto masivo compacto arbitrario. Compacto, lo que significa que las desviaciones de la forma son insignificantes en relación a la masa. En pocas palabras, redondo y apretado. Por lo general, aquí se usa un agujero negro como ejemplo. Por alguna razón, nadie da ejemplos de objetos no compactos. Una barra de espuma hermética en un espacio abierto a una distancia infinita de objetos masivos, como un objeto no compacto. El caballo cubo a lo lejos, desde el que también se ve la tristeza en sus ojos.

A través del volumen de las 3 esferas

Realizaremos un reemplazo:

M = \frac{E}{c^{2}}

$M=\frac{E}{c^2}$

Entonces la métrica se volverá así:

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

El reemplazo fue necesario solo para llamar la atención sobre el cuarto grado de la velocidad de la luz, porque todos los números en las fórmulas son importantes. Esto se evidencia en toda la historia de la física: cualquier fórmula obtenida empíricamente a lo largo del tiempo recibe una base teórica que explica los significados de todas las formas matemáticas que contiene.

Por lo general, en la representación de esta métrica, la parte asociada con las constantes físicas y la masa del cuerpo que crea el campo se expresa en términos del radio de Schwarzschild:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

porque la métrica tiene una singularidad en este punto. Aquí, el tiempo se detiene literalmente.

Así es como se ve toda la métrica:

d s^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Pero en la continuación del razonamiento sobre la esencia física de los fenómenos, estos dos:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

también debe ser comprendido. Por lo tanto, lo representamos así:

u = \frac{G E}{c^{4}}

$u = \frac{GE}{c^4}$

Es solo la mitad del radio gravitacional

r_{s}

$r_s$ , y su dimensión es la misma. Obtenemos:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = 1 - 2 \frac{u}{r}

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

Se sugiere a sí mismo:

= (1 - 2 \frac{u}{r} + \frac{u^{2}}{r^{2}}) - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(1 - \frac{u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(\frac{r - u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} =

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

= \frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} (1)

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

Ya no está mal. Dibujemos. Imagina

r = O B

$r = OB$ segmento final,

u = O A

$u = OA$ - parte de él, como se muestra en la figura siguiente. Es obvio que

(r - u) = A B

$(r-u) = AB$ ...

imagen

Es curioso, por cierto, cuál de

r_{s} = 2 u

$r_s = 2u$ se sigue que el punto

A

$A$ se encuentra detrás (debajo) del horizonte de eventos del objeto de energía

E

$E$ ... Es muy fácil encontrarlo, pero no podemos.

Ahora mostraremos que una relación de la forma

(1)

$(1)$ se ejecutará para todos los puntos que tengan un lugar geométrico en la perpendicular a

O B

$OB$ en el punto

A

$A$ :

\frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} = \frac{((r - u)^{2} + a^{2}) - (u^{2} + a^{2})}{r^{2}} = \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} (2)

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

para cualquier

b = C B

$b = CB$ y

d = O C

$d = OC$ ...

En pocas palabras, la diferencia de cuadrados

(r - u)^{2} - u^{2}

$(r-u)^2 - u^2$ es equivalente a la diferencia de cualquier cantidad cuyas proyecciones sobre

O B

$OB$ son

A B

$AB$ y

O A

$OA$ respectivamente, siempre que el punto

C

$C$ Ellos tienen en común.

Además, suponga que

u = u (E)

$u = u(E)$ y

(r - u)

$(r-u)$ a la inversa, proyecciones

r = O B

$r = OB$ en algunos ejes, es decir, la suma pitagórica de dos cantidades, en su forma original, perpendiculares entre sí. Traduciendo esto en un requisito, considere el caso

∠ O C B = π / 2

$\angle{OCB} = \pi/2$ por lo que es cierto:

b^{2} = r^{2} - d^{2} \to (2) \to \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} = 1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} (3)

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

Finalizaremos

(3)

$(3)$ similar a la iteración inicial:

1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} = (1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{d^{4}}{r^{4}}) - \frac{d^{4}}{r^{4}} = \frac{(r^{2} - d^{2})^{2} - d^{4}}{r^{4}} =

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

= \frac{b^{4} - d^{4}}{{\sqrt{b^{2} + d^{2}}}^{4}} = \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} (4)

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

Aquí está el cuarto grado. Fórmula para el volumen de una esfera de 3:

V = \frac{π^{2} \cdot R^{4}}{2}

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

Esto quiero decir que si multiplicas y divides

(4)

$(4)$ en

π^{2} / 2

$\pi^2/2$ :

\frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{2}{π^{2}} \cdot \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{V_{b} - V_{d}}{V_{r}} (5)

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

luego, el factor en la métrica de Schwarzschild se convierte en la diferencia entre los volúmenes de dos esferas de 3 construidas alrededor de dos proyecciones radiales de un punto en relación con el centro del campo, relacionadas con el volumen de la esfera de tres formada por la distancia total entre el punto y el centro del campo.

Teniendo en cuenta el hecho de que el radio total viene dado por proyecciones, toda esta construcción está muy sucintamente establecida por dos parámetros, uno de los cuales está relacionado con la energía y el segundo no. Hay exactamente dos coordenadas.

conclusiones

Las notables consecuencias de tal representación son:

1. De la forma del multiplicador se ve que el comportamiento del fotón limita la zona visible del espacio-tiempo de cinco dimensiones. Fuera de él, puedes ocultar algo gravitante, pero invisible.

2. La presencia de la segunda coordenada oculta elimina la paradoja del tiempo cero.

3. Dado que la curvatura del espacio alrededor de un cuerpo masivo siempre se puede descomponer en dos componentes, uno de los cuales está asociado con la energía del cuerpo y el segundo exclusivamente con el espacio, el siguiente paso es resolver las ecuaciones de la relatividad general para el caso del vacío del espacio-tiempo de cinco dimensiones. Más sobre esto en el próximo artículo.

Prima. Al otro lado de la esquina

Obviamente, es posible expresar el significado del campo en un punto a través de un ángulo plano, que expresa la desviación de la trayectoria del movimiento del espacio plano (en ausencia de campos gravitacionales).

Expresemos las cantidades

b

$b$ y

d

$d$ al otro lado de la esquina

α = ∠ O B C

$\alpha = \angle{OBC}$ :

b = r \cdot \cos α; d = r \cdot \sin α

$b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$ ... Llamémoslo el ángulo de curvatura de la trayectoria. Entonces el factor se puede expresar de formas muy diferentes:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = \cos^{2} α - \sin^{2} α = \cos^{4} α - \sin^{4} α = 1 - 2 \sin^{2} α =

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

= \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} = \cos 2 α (6)

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

Me gusta especialmente la versión tangente.

imagen

Sustituir en el intervalo original:

d s^{2} = - \cos 2 α \cdot c^{2} d t^{2} + \cos^{- 1} 2 α \cdot d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Todo, como debería, se convierte en una métrica plana de Minkowski para

α = 0

$\alpha = 0$ ...

Definitivamente debería haber un quinto ...

Continuará.

Representación geométrica de la curvatura del espacio en la métrica de Schwarzschild

A través del volumen de las 3 esferas

conclusiones

Prima. Al otro lado de la esquina

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