Tus cuadrados están mal

El otro día había un artículo dedicado a la diferencia entre un cuadrado con bordes redondeados y un "círculo cuadrado", una figura intermedia entre un círculo y un cuadrado, obtenida de la fórmula de superelipse . Las opiniones de los lectores estaban divididas - no todos vieron la diferencia, y quienes vieron - no todos prefirieron la opción "correcta". Y sospecho por qué: ¡esos cuadrados tuyos no son reales!

Solución alternativa

Mi solución (en coordenadas polares) resultó así:

$$

$$\rho =\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1+\left(\frac{1}{k^4}-\frac{2}{k^2}\right) \sin ^2(2 \phi )}}}$$

en que parámetro $$$k$de 0 a 1 establece el grado de "cuadratura" y linealmente, definiendo el punto de intersección ( k , k ) de la figura con la diagonal. Esto significa que podemos definir de forma única nuestro círculo cuadrado a través de 3 puntos. Y si, con$$$k = 1$tenemos un cuadrado real, con lados rectos y esquinas afiladas. Bueno, el círculo, respectivamente, se obtiene cuando$$$k = \frac{1}{\sqrt{2}}$(coseno 45 °). Las variantes de las cifras obtenidas se reflejan en el KDPV.



También puede notar que esta fórmula no contiene trucos como funciones de módulo, firmar / descartar, etc., como se requiere para una superelipse. Todo es justo, solo funciones matemáticas estándar, con las que no habrá dificultad para diferenciar o integrar. Por cierto, sobre la integración, si lo desea, también puede encontrar el área de estas figuras (a través de integrales elípticas):

$$

$$\frac{4 k^4 E\left(\frac{2 k^2-1}{k^4}\right)-4 \left(k^2-1\right)^2 K\left(\frac{2 k^2-1}{k^4}\right)}{2 k^2-1}$$

Desarrollo

Puede agregar más variación a las formas resultantes. Por ejemplo, así:

$$

$$\rho =\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{(z-2)^2}{z^2}}}{1+\sqrt{1+\left(\frac{1}{k^4}-\frac{2}{k^2}\right) \sin^2(2\phi)+\left(\frac{4(1-z)}{z^2}\right)\cos^2(2 \phi)}}}$$

Aquí tenemos un parámetro z más , que nos permite distorsionar la figura sin violar la ideología de la construcción. Con su ayuda, puedes acercar nuestra figura a la superelipse (mostrada en amarillo en los gráficos). Por ejemplo, para n = 4 ( k = 0.266, z = 0.1), la coincidencia es casi perfecta:







a mayor n, la diferencia ya es más notable ( n = 5, k = 0.6, z = 0.48):







n = 10, k = 0,942, z = 1,02:





Y sí, ¡puedes ir de una manera completamente radical! Este diseño de icono ciertamente no se puede confundir con nada:







Bueno, también puedes soñar un poco con la animación:

Conclusión

Si un diseñador de una determinada empresa con (opcionalmente) un logotipo de fruta desea obtener un diseño único, incluso si no difiere fundamentalmente de las soluciones existentes, puede valer la pena intentar buscar y patentar una fórmula realmente nueva, y no atraer una solución conocida desde hace mucho tiempo colgando toneladas de boletines de marketing en ella. ... Especialmente si se puede hacer solo por diversión por una simple persona de provincias sin educación especial.



PS Los códigos fuente del artículo están aquí .



PPS A través de la ecuación de la curva en coordenadas cartesianas, la fórmula original se verá así

$$

$$0=-2+\left(x^2+y^2\right) \left(1+\sqrt{1+\frac{\left(4-8 k^2\right) x^2 y^2}{k^4 \left(x^2+y^2\right)^2}}\right)$$