Tres matemáticos tienen una respuesta a la pregunta fundamental sobre los caminos rectos en un sólido platónico de 12 lados
A pesar de que los matemáticos tienen más de 2000 años [ y, posiblemente, incluso más / aprox. transl. ] analizar la estructura de cinco poliedros regulares (sólidos platónicos) - tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro - todavía no sabemos mucho sobre ellos.
Y así, tres matemáticos han respondido una de las preguntas más básicas sobre el dodecaedro.
Digamos que estás parado sobre uno de los vértices de un poliedro regular. ¿Existe un camino directo por el que se pueda volver al punto de partida sin pasar por ninguno de los otros vértices? Para otros cuatro poliedros regulares formados por cuadrados o triángulos equiláteros (tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro), los matemáticos han dado recientementerespuesta negativa a esta pregunta. Cualquier camino recto que comience desde uno de los vértices se topará con otro vértice o se enrollará para siempre a lo largo de la superficie de la figura, sin regresar nunca al punto de partida. Sin embargo, los matemáticos no sabían qué esperar de un dodecaedro formado por 12 pentágonos.
Ahora, Jadev Atreya , David Olicino y Patrick Hooper han demostrado que, de hecho, hay un número infinito de estos caminos en el dodecaedro. Su artículo , publicado en mayo en la revista Experimental Mathematics, muestra que estos caminos se pueden dividir naturalmente en 31 familias.
Encontrar una solución requirió el uso de tecnología moderna y la compilación de algoritmos informáticos. “Hace unos veinte años, esta pregunta estaba fuera de alcance; Hace 10 años, habría requerido un esfuerzo increíble para escribir todos los programas necesarios; y solo hoy todos los factores se han unido ”, escribió Anton Zorich del Instituto Matemático Jassi en París en un correo electrónico.
Este proyecto comenzó en 2016, cuando Atreya de la Universidad de Washington y Olicino de Brooklyn College comenzaron a jugar con un conjunto de formas planas que se doblaban en un poliedro regular. Durante el montaje del poliedro, Olicino se dio cuenta de que el material acumulado recientemente en la geometría del plano puede ser útil para comprender las trayectorias rectas en el dodecaedro. “Literalmente ensamblamos estas piezas a partir de piezas dispersas”, dijo Atreya. "La simple curiosidad de los investigadores coincidió con una nueva oportunidad".
Junto con Hooper del City College de Nueva York, los investigadores descubrieron cómo clasificar todos los caminos rectos que salen de una esquina y entran en ella, sin pasar por otras esquinas.
Su análisis es una "solución elegante", como dijo Howard Mazur .de la Universidad de Chicago. "Este es uno de esos casos en los que puedo decir sin dudarlo: ¡Vaya, por qué no lo hice!"
Simetrías ocultas
Aunque los matemáticos han estado hablando de trayectorias rectas en el dodecaedro durante más de un siglo, el interés por este tema ha revivido en los últimos años gracias a los nuevos conocimientos adquiridos en el campo de las "superficies de transferencia". Tales superficies se forman pegando los lados paralelos de un poliedro. Han demostrado ser muy útiles para explorar una amplia gama de temas relacionados con caminos rectos a lo largo de formas con ángulos, desde las trayectorias de las bolas de billar hasta preguntas sobre si un solo rayo de luz puede iluminar una habitación entera con paredes espejadas.
La idea básica en todas estas tareas es desplegar la forma para que sea más fácil estudiar los caminos que la siguen. Para comprender los caminos rectos a lo largo de un poliedro regular, puede comenzar cortando suficientes bordes para que puedan expandirse en un plano, formando, como dicen los matemáticos, una red. Una de las redes de un cubo, por ejemplo, es una forma en forma de "T" que consta de seis cuadrados.
Dodecaedro de papel, realizado en 2018 por David Olicina y Jadev Atreya para demostrar la capacidad de llevar un camino desde un vértice hasta él sin cruzar los demás.
Imagínese que hemos hecho un barrido del dodecaedro y ahora estamos caminando en una dirección determinada. Tarde o temprano nos toparemos con un borde de la red, tras lo cual nuestro camino saltará al pentágono adyacente (el que estaba pegado al actual antes de cortar nuestro dodecaedro). Al saltar, el camino gira simultáneamente en un ángulo, cuyo valor es divisible por 36 grados.
Para evitar todos estos saltos y giros, cuando nos encontramos con un borde, podríamos pegar una nueva copia rotada de la red en ella y seguir caminando recto. Luego agregaremos redundancia: tendremos dos pentágonos diferentes, denotando el pentágono del dodecaedro original. Hemos complicado nuestro mundo, pero hemos simplificado nuestro camino. Podemos seguir agregando una nueva red cada vez que necesitemos ir más allá de los límites de nuestro mundo.
Para cuando nuestro camino pase a través de 10 redes, rotaremos nuestra malla original por todos los ángulos posibles divisibles por 36, y la orientación de la siguiente malla que agreguemos coincidirá con la que comenzamos. Resulta que la undécima red se obtiene del original mediante un simple desplazamiento, como dicen los matemáticos, por transferencia. En lugar de pegar la malla número 11, simplemente podemos pegar el borde de la malla 10 al borde paralelo correspondiente de la malla original. Nuestra figura ya no será plana, pero los matemáticos creen que "recuerda" la geometría plana de su encarnación anterior, por lo que, por ejemplo, los caminos se consideran rectos si estaban rectos en una figura que aún no se ha pegado. Después de haber hecho todo el pegado posible de los bordes paralelos correspondientes, obtenemos el llamado. superficie de transferencia.
Atreia tatuó su superficie de transferencia favorita, el pentágono doble, en su mano derecha.
La superficie resultante es una representación altamente redundante del dodecaedro, en el que están involucradas 10 copias de cada pentágono. Y resultó ser mucho más complejo: está pegado en forma de rosquilla con 81 agujeros. Sin embargo, esta forma compleja permitió a los tres investigadores comprender la rica teoría de las superficies de transferencia.
Frente a una superficie tan gigantesca, los matemáticos se arremangaron, tanto en sentido figurado como literal. Después de trabajar con ella durante varios meses, se dieron cuenta de que la superficie de la rosquilla de 81 orificios forma una sobrepresentación no solo del dodecaedro, sino de una de las superficies de transferencia más estudiadas. Este es un pentágono doble, que se obtiene pegando dos pentágonos a lo largo de uno de los bordes y luego pegando todos los lados paralelos para hacer una rosquilla con dos agujeros y un gran conjunto de simetrías.
Además, esta figura está tatuada en el brazo de Atreya. “Yo ya conocía y amaba este doble pentágono”, dijo Atreya, quien se hizo el tatuaje un año antes de que él y Olicino comenzaran a pensar en el dodecaedro.
Dado que el pentágono doble y el dodecaedro son primos geométricos, un alto grado de simetría del primero puede ayudar a comprender la estructura del segundo. “Esta es una simetría latente tremenda”, dijo Alex Eskin de la Universidad de Chicago (quien asesoró a Atreya en su tesis doctoral hace 15 años). "Que el dodecaedro tenga un grupo de simetría tan latente es bastante notable".
Jadev Atreya comparte cómo él y sus colegas resolvieron el antiguo problema de encontrar caminos rectos en el dodecaedro.
La relación entre estas superficies ha permitido a los investigadores aprovechar el algoritmo de análisis de superficie de transferencia altamente simétrico desarrollado por Miriam Finster del Instituto de Tecnología de Karlsruhe. Al adaptar su algoritmo, los investigadores pudieron encontrar todos los caminos directos en el dodecaedro que salen y regresan a un vértice, y los clasifican en función de las simetrías ocultas del dodecaedro.
Atreya describe este análisis como "uno de los proyectos más interesantes de toda mi carrera". Jadev dice que es muy importante jugar constantemente con diferentes cosas.
El nuevo resultado sugiere que incluso aquellos objetos que la gente ha estado estudiando durante miles de años, puede haber secretos escondidos, dijo Eskin. "Creo que incluso para estos tres matemáticos fue una sorpresa que pudieran decir algo nuevo sobre el dodecaedro".