Aproximaciones simples y rápidas a funciones estadísticas

Tarea. Hay una calculadora , pero no hay tablas estadísticas a mano . Por ejemplo, necesita tablas de puntos críticos de la distribución de Student para calcular el intervalo de confianza. ¿Tienes una computadora con Excel? No es atlético.

No se necesita una gran precisión, puede utilizar fórmulas aproximadas. La idea de las fórmulas siguientes es que, al transformar el argumento, todas las distribuciones se pueden reducir de alguna manera a la normalidad. Las aproximaciones deben proporcionar tanto el cálculo de la función de distribución acumulada como el cálculo de su función inversa.

Comencemos con la distribución normal.

$$

$$\Phi(z)=P=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

$$

$$z=\Phi^{-1}(P)=\sqrt{2}\cdot\mathrm{erf}^{-1}(2P-1)$$

Requiere calcular la función $$$\mathrm{erf}(x)$y al revés. Usé la aproximación [1]:

$$

$$\mathrm{erf}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{1-\exp\left(-x^{2}\cdot\frac{\frac{4}{\pi}+ax^{2}}{1+ax^{2}}\right)}$$

$$

$$\mathrm{erf}^{-1}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{-t_2 + \sqrt{t_2^{2}-\frac{1}{a}\cdot \ln t_1}}$$

Dónde $$$t_1$ y $$$t_2$ - variables auxiliares:

$$

$$t_1=1-x^{2},\:t_2=\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln t_1}{2}$$

y la constante $$$a=0.147$... A continuación se muestra el código en idioma Octave.

function y = erfa(x)
  a  = 0.147;
  x2 = x**2; t = x2*(4/pi + a*x2)/(1 + a*x2);
  y  = sign(x)*sqrt(1 - exp(-t));
endfunction

function y = erfinva(x)
  a  = 0.147; 
  t1 = 1 - x**2; t2 = 2/pi/a + log(t1)/2;
  y  = sign(x)*sqrt(-t2 + sqrt(t2**2 - log(t1)/a));
endfunction

function y = normcdfa(x)
  y = 1/2*(1 + erfa(x/sqrt(2)));
endfunction

function y = norminva(x)
  y = sqrt(2)*erfinva(2*x - 1);
endfunction

Ahora que tenemos las funciones de distribución normal, damos un argumento y calculamos la distribución t de Student [2]:

$$

$$F_t(x,n)=\Phi\left(\sqrt{\frac{1}{t_1}\cdot\ln(1+\frac{x^{2}}{n})}\right)$$

$$

$$t=F_t^{-1}(P,n)=\sqrt{n\cdot\exp\left(\Phi^{-1}(P)^{2}\cdot t_1\right)-n}$$

donde la variable auxiliar $$$t_1$ Ahi esta

$$

$$t_1=\frac{n-1.5}{(n-1)^{2}}$$

function y = tcdfa(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
 y = normcdfa(sqrt(1/t1*log(1 + x**2/n)));
endfunction

function y = tinva(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
  y  = sqrt(n*exp(t1*norminva(x)**2) - n);
endfunction

La idea de calcular la distribución aproximadamente $$$\chi^{2}$ está claramente representado por fórmulas [3]:

$$

$$\sigma^{2}=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^{2}$$

$$

$$F_{\chi^{2}}(x,n)=\Phi\left(\frac{\left(\frac{x}{n}\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$$

$$

$$\chi^2=F_{\chi^2}^{-1}(P,n)=n\cdot\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma + \mu\right)^3$$

function y = chi2cdfa(x,n)
  s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y  = normcdfa(((x/n)**(1/3) - mu)/sqrt(s2));
endfunction

function y = chi2inva(x,n)
 s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y = n*(norminva(x)*sqrt(s2) + mu)**3;
endfunction

Distribución de Fisher (para $$$n/k\geq3$ y $$$n\geq3$) . $$$\chi^2$ [4], , .

$$

$$\sigma^2=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^2$$

$$

$$\lambda=\frac{2n+k\cdot x/3+(k-2)}{2n+4k\cdot x/3}$$

$$

$$F_f(x;k,n)=\Phi\left(\frac{\left(\lambda\cdot x\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$$

, .

$$

$$q=\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma+\mu\right)^3$$

$$

$$b=2n+k-2-4/3\cdot kq$$

$$

$$D=b^2+8/3\cdot knq$$

$$

$$x=F_f^{-1}(P;k,n)=\frac{-b+\sqrt{D}}{2k/3}$$

function y = fcdfa(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  lambda = (2*n + k*x/3 + k-2)/(2*n + 4*k*x/3);
  normcdfa(((lambda*x)**(1/3)-mu)/s)
endfunction

function y = finva(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  q = (norminva(x)*s + mu)**3;
  b = 2*n + k-2 -4/3*k*q;
  d = b**2 + 8/3*k*n*q;
  y = (sqrt(d) - b)/(2*k/3);
endfunction

1. Sergei Winitzki. A handy approximation for the error function and its inverse. February 6, 2008.
2. Gleason J.R. A note on a proposed Student t approximation // Computational statistics & data analysis. – 2000. – Vol. 34. – №. 1. – Pp. 63-66.
3. Wilson E.B., Hilferty M.M. The distribution of chi-square // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 1931. – Vol. 17. – №. 12. – Pp. 684-688.
4. Li B. and Martin E.B. An approximation to the F-distribution using the chi-square distribution. Computational statistics & data analysis. – 2002. Vol. 40. – №. 1. pp. 21-26.