Relatividad general. La energía como dimensión adicional en la solución de Schwarzschild

¡ Habritantes ! Este artículo describe cómo obtener una métrica general que incluye las métricas de Friedman y Schwarzschild como casos especiales.



Para comprender el material, necesita el concepto de derivadas.



Imaginemos que el espacio tiene una cuarta dimensión. Como si el movimiento en él quitara parte del movimiento del objeto, o viceversa. Como si la gravedad fuera un efecto puramente geométrico de crear un vórtice sub-dimensional alrededor de cualquier objeto con energía.



Probablemente se haya topado con una visualización similar de la gravedad si está interesado en la pregunta:







para estimar la profundidad de dicho embudo y el mecanismo de interacción de los objetos, formularemos la expresión para el intervalo de firma (1-4).

3 coordenadas esféricas

Imagina un espacio de 4 dimensiones $$$\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$ , y defina en él las coordenadas esféricas$$$(r, \theta, \phi, \eta)$ :

$$

$$] \, {w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta; \\ x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta; \\ y = r\sin\theta\cos\phi; \\ z = r\cos\theta } \\$$

Para hacer esto, escribimos la matriz de transición:

$$

$$\vec{r} = \left( \matrix{w \\ x \\ y \\ z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\ r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\ r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta } \right)$$

Calculemos los factores de conversión:

$$

$$g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = \sqrt{ \left( \frac{\partial w}{\partial r} \hat{h} + \frac{\partial x}{\partial r} \hat{i} + \frac{\partial y}{\partial r} \hat{j} + \frac{\partial z}{\partial r} \hat{k} \right)^2 } = \\ = \sqrt{sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta + \sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta + sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta} = 1 \\ g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| = \sqrt{r^2cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2sin^2\theta} = \\ = \sqrt{r^2(sin^2\theta + \cos^2\theta (cos^2\phi + sin^2\phi (cos^2\eta+sin^2\eta)))} = r \\ g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{r^2sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\eta + r^2sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\eta + r^2sin^2\theta\sin^2\phi + 0} = \\ = \sqrt{r^2sin^2\theta} = r\sin\theta \\ g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = \sqrt{r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta} = r\sin\theta\sin\phi$$

Y presentar el correspondiente $$$\psi$ intervalo:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + (dw^2 + \color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + 1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \\ ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$$

Rojo: componente temporal, presentado de manera similar a la métrica FLRW.

Verde: el componente espacial, representado de manera similar a la métrica FLRW y que representa la superficie de una esfera de 3.



El magenta resultó ser un vínculo suspendido entre el tiempo y el espacio, el diferencial del cambio multiplicador de la parte espacial.

Vista general del intervalo

Continuando con el desarrollo de las ideas esbozadas en el artículo anterior , colocamos el cambio en la cuarta dimensión como una medida relacionada con la cantidad relativa de energía de los objetos, por lo tanto, complementamos la métrica del componente$$$\color{orange}{-dr^2}$debido a la consideración de un sistema energéticamente cerrado, que se supondrá verdadero tanto para el Universo como un todo (solución de Friedmann) como para un cuerpo masivo esféricamente simétrico (solución de Schwarzschild). El lector que no esté de acuerdo con esta interpretación puede simplemente considerarlo un truco matemático:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right)}$$

El magenta en la parte temporal es claro:

$$

$$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$$

Trabaja en los errores. Desafortunadamente, presente$$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$planas mediante transformaciones de coordenadas no es posible. Si lo recuerdas$$$r^2 \cdot (dx^2 + dy^2 + dz^2)$los vectores base ya no son ortogonales entre sí.

Otras consideraciones pueden ser válidas solo para el caso de aproximación$$$\sin^2 \theta = \rho^2$ aceptable para valores grandes $$$r$...

Reforma el verde para mostrar que el espacio $$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ se puede representar en coordenadas angulares $$$(x_1, y_1, z_1)$ como la métrica FLRW:

$$

$$\color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = \\ = r^2 \cdot dx_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot dy_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dz_1^2 - \color{orange}{dr^2} =} \quad \rightarrow (1)$$

En este caso, los coeficientes de transición son iguales:

$$

$$dx_1^2 = d\theta^2; \\ dy_1^2 = \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 = \sin^2 \theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 = \sin^2 \theta \cdot \left( \frac{d\phi}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\theta} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \\ = \sin^2\theta \cdot \left( \frac{g_\theta}{g_\phi} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} \cdot d\theta^2 = d\theta^2; \\ \frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\eta^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$$

Por tanto, teniendo en cuenta los vectores base:

$$

$$(1) \rightarrow \quad \color{green}{= r^2 \cdot dx_1^2 \cdot \vec{e_{\theta}}^2 + r^2 \cdot dy_1^2 \cdot \vec{e_{\phi}}^2 + r^2 \cdot dz_1^2 \cdot \vec{e_{\eta}}^2 - \color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2} = } \quad \rightarrow \ (2)$$

que es 3 espacios $$$\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ con lineal $$$d\theta$ vectores base, factor de escala $$$r$ y longitud instantánea $$$dl^2 = dx_1^2 + dy_1^2 + dz_1^2$, en nuestro caso, colectivamente reducido por el valor $$$dr^2/r^2$:

$$

$$(2) \rightarrow \quad \color{green}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \right) = } \quad \rightarrow \ (3)$$

Sin el componente naranja, se obtiene la parte espacial del intervalo del modelo cosmológico estándar para el espacio "plano" con una posible degradación del factor de escala espacial. $$$r$en el tiempo, como en FLRW.



"Paquete" extra$$$dr^2$ será más práctico de nuevo en esférico, solo que ahora es habitual para una esfera tridimensional $$$(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$... Para distinguir entre coordenadas para sistemas 3 esféricos y 2 esféricos, estos últimos se indican$$$(\rho, \varphi, \zeta)$:

$$

$$(3) \rightarrow \quad \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = \\ = r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) }$$

donde la razón de orden de magnitud $$$dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^\rho$y $$$\varphi, \zeta$ por el teorema de la tangente:

$$

$${ d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\ d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta. }$$

Entonces el intervalo completo será:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)} \qquad (A)$$

El resultado es un intervalo combinado, como "improvisado" a partir de la forma de un intervalo de la métrica FLRW y la métrica de Schwarzschild, cada uno de los cuales representa un caso particular de interacciones físicas. Ahora veamos cómo desde$$$(A)$ se obtienen las soluciones correspondientes.

Vista de intervalo para la métrica de Friedman

Puramente matemáticamente, un intervalo de la forma $$$(A)$ se convierte en la métrica FLRW del modelo cosmológico estándar simplemente excluyendo el componente de energía $$$dr = 0$:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)}$$

Que, como se muestra arriba, también se puede reescribir así:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)}$$

La solución de las ecuaciones de la relatividad general para tal intervalo da la dependencia $$$r \propto t^{2/3}$...



Sin embargo, los datos empíricos de QCS para objetos$$$z>0.3$mostrar la desviación consolidada de esta relación.



Posiblemente una solución para un intervalo como$$$(A)$ dará una relación más precisa, pero aún no la he encontrado.

Solución de relatividad general en términos de la métrica de Schwarzschild

Comparemos el intervalo resultante con la métrica de Schwarzschild :

$$

$$ds^2 = -\color{red}{(1-\frac{\rho_s}{\rho})} \cdot dt^2 + \color{orange}{\frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$$

Si imaginamos un sistema de objetos que interactúan en una escala de baja energía $$$(dr/r \rightarrow \infty)$luego $$$r$ puede tomarse como igual a uno sin perder la conectividad matemática, el espacio se volverá pseudoeuclidiano y el intervalo $$$(A)$ se puede reescribir de la siguiente manera:

$$

$$ds^2 = (-1)\cdot \color{red}{ \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) } \cdot dt^2 + \color{orange}{ \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) } \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$$

Matemáticamente, esto es exactamente lo mismo que si realizáramos el truco $$$\pm dr^2$ para 3 espacios vacíos en coordenadas esféricas $$$(\rho, \varphi, \zeta)$...



Es decir, para el caso de vacío plano, el intervalo$$$(A)$tendrá una solución similar a la solución de la métrica de Schwarzschild, siempre que los factores resaltados en rojo y naranja sean equivalentes. Obtenemos el sistema:

$$

$$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; \\ \frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$$

Dónde $$$t, r, \rho$- en orden: tiempo, curvatura (energía), radio (distancia) en un campo gravitacional esféricamente simétrico a lo largo de la curvatura total cero del espacio.

Usando transformaciones matemáticas simples, obtenemos una solución muy lacónica:

$$

$$-dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0,$$

lo que confirma que:

1. La cuarta coordenada es lineal a la coordenada radial.
2. La cuarta coordenada es la coordenada del eje imaginario.

El primero, en mi opinión, es muy importante porque muestra que la energía presentada como un eje adicional es casi isotrópica a los observables. En segundo lugar, le permite comprender por qué se manifiesta de manera diferente. Y "inobservable".



Además, me gustaría señalar que el propio establecimiento del intervalo energético con signo negativo respecto al espacio y positivo respecto al tiempo nos permite formular su relación de la siguiente manera: el espacio es energía-tiempo, se supera en energía-tiempo.

Resumen

Me parece que la continuación del curso sobre geometrización de la física se muestra como una dirección muy prometedora. El carácter ficticio del eje energético en cosmología podría servir como trampolín para las ecuaciones de Maxwell.

Notas marginales. De cara al futuro, me permitiré asumir que una medida imaginaria para organizar los mecanismos de carga y masa no será suficiente. Más el dualismo electromagnético como argumento a favor de al menos dos dimensiones. Y algo de simetría en la forma: dimensión temporal + dos energéticos = tres espacios.

Cuando vaya a microescala, intentaré moverme en la dirección de "dividir"$$$r$:

$$

$$ds^2 = - dt^2 - dv^2 - dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Observación 23/08/2020:

Eje adicional imaginario $$$r$ fue dado originalmente por el signo con el que $$$\pm dr^2$se dividieron en componentes temporales y espaciales. Es decir, si imaginamos el campo gravitacional no como un embudo, sino como una colina, entonces la cuarta dimensión resultará estar codirigida al espacio:

$$

$$dt^2 + dr^2 + d\rho^2 = 0$$

Tal indiferencia de las propiedades mostradas en (1,3) de la dirección del quinto eje, aparentemente, es un signo de su forma cerrada.