¿Por qué a los matemáticos les gusta probar el mismo resultado de diferentes maneras?
La concentración de números primos, indicada por puntos amarillos en esta espiral hexagonal de números enteros positivos, disminuye con la distancia desde el comienzo de la recta numérica. Esta regularidad muchas veces probada se describe mediante el teorema de la distribución de números primos.
"No puedes creer en Dios, pero necesitas creer en el Libro", dijo una vez el matemático húngaro Pal Erdos.... El Libro, que existe sólo en teoría, contiene las demostraciones más elegantes de los teoremas más importantes. La afirmación de Erds apunta a la motivación de los matemáticos para seguir buscando nuevas pruebas de teoremas ya probados. Uno de sus favoritos es el teorema de la distribución de los números primos, de modo que solo son divisibles por sí mismos y por 1. Y aunque los matemáticos no saben si la prueba entrará en el Libro, dos rivales compiten por el primer lugar, pruebas que simultánea e independientemente encontrado en 1896 por Jacques Hadamard y Charles Jean de La Vallée-Poussin .
Entonces, ¿qué dice exactamente este teorema?
El teorema de los números primos permite aproximar el número de números primos que no exceden un número dado n. Este valor se llama π (n), donde π es la función de distribución de los números primos [ no relacionado con el número π / aprox. transl.]. Por ejemplo, π (10) = 4 porque hay 4 números primos hasta 10 (2, 3, 5 y 7). De manera similar, π (100) = 25, ya que hay 25 números primos entre los primeros 100 números. Entre los primeros 1000 números, hay 168 primos, entonces π (1000) = 168, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que al mirar los primeros 10, 100 y 1000 enteros, el porcentaje de números primos en ellos disminuyó del 40% al 25% y el 16.8%, respectivamente. Estos ejemplos dan una pista, y el teorema de los números primos confirma que la densidad de los números primos que no exceden un número dado disminuye a medida que aumenta ese número.
Pero incluso si tuviera una lista ordenada de enteros de hasta, digamos, un billón, ¿quién querría calcular manualmente π (1,000,000,000,000)? El teorema de los números primos es una forma de ahorrar energía.
Dice que π (n) es "asintóticamente igual" an / ln (n), donde ln es el logaritmo natural. La igualdad asintótica se puede considerar como una igualdad aproximada, aunque esto no es del todo cierto. Por ejemplo, estimemos el número de números primos que no superen un billón. En lugar de contar números primos individuales para calcular π (1,000,000,000,000), puede usar este teorema y descubrir que hay aproximadamente 1,000,000,000,000 / ln (1,000,000,000,000), lo que equivale a 36,191,206 825 cuando se redondea al número entero más cercano. Y esta estimación difiere de su número real, 37 607 912 018, solo en un 4%.
Con igualdad asintótica, la precisión mejora al aumentar los números sustituidos en la fórmula. De hecho, cuanto más nos acercamos al infinito, que no es un número en sí mismo, sino simplemente algo más que cualquier número, la igualdad asintótica se aproxima a la igualdad real. Y aunque el número real de números primos siempre se expresará como un entero, el valor del otro lado de la igualdad asintótica, es decir, la fracción en la que aparece el logaritmo natural, puede tomar cualquier valor en la recta real. Esta conexión entre números reales y números enteros es contradictoria por decir lo menos.
Todo esto sorprende un poco, incluso a los matemáticos. Y lo que es más desagradable, el enunciado del teorema sobre la distribución de números primos no dice nada acerca de por qué se cumple tal relación.
“El teorema nunca ha sido valioso por sí solo. Se trata de pruebas ”, dijo Michael Bode , profesor de matemáticas en la Universidad Tecnológica de Queensland en Australia.
Si bien las demostraciones originales de Hadamard y La Vallée-Poussin eran elegantes, se basaban en un análisis complejo, el estudio de funciones de números complejos, que a algunas personas no les gusta, ya que el teorema en sí no tiene nada que ver con números complejos. Sin embargo, Godfrey Harold Hardy en 1921 anunció la aparición de evidencia no analítica: la llamada. Demostración elemental - el teorema sobre la distribución de números primos " extremadamente improbable ", y afirmó que si alguien lo encuentra, "tendrá que reescribir la teoría".
Atle Selbergy el propio Erdös aceptó el desafío, y en 1948 cada uno publicó una prueba elemental nueva e independiente del teorema de los números primos utilizando las propiedades de los logaritmos. Esta evidencia llevó a otros matemáticos a considerar enfoques similares a las hipótesis de la teoría de números que antes se consideraban demasiado simples para enunciados tan complejos. Como resultado, se obtuvieron muchos resultados interesantes, incluida la prueba elemental de Helmut Meier en 1985 sobre inhomogeneidades inesperadas en la distribución de primos.
"El teorema de los números primos tiene muchas preguntas sin resolver", dijo Florian Richter , matemático de la Universidad Northwestern, quien recientemente publicó una nueva prueba rudimentariaesta famosa declaración. Richter lo encontró mientras intentaba probar las consecuencias de gran alcance del teorema de los números primos.
Con el tiempo, los teóricos de números han ayudado a establecer una cultura en la que los matemáticos prueban y vuelven a probar teoremas no solo para probar afirmaciones, sino también para mejorar sus habilidades de demostración de teoremas y la comprensión de las matemáticas utilizadas.
Esto está fuera del alcance del teorema de los números primos. Paulo Ribenboim recopiló al menos 7 pruebas de la infinidad de números primos. Stephen Kifovit y Terra Stamps identificaron 20 pruebas que muestran que la serie armónica 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... no converge en un número finito, mientras que Kifovit agregó 28 más a ellos... Bruce Ratner enumera más de 371 pruebas del teorema de Pitágoras , incluidos grandes ejemplos de Euclides, Leonardo da Vinci y el vigésimo presidente de los Estados Unidos, James Abram Garfield, que entonces era un congresista de Ohio.
La costumbre de buscar pruebas duplicadas está tan arraigada en la comunidad que los matemáticos prácticamente pueden contar con ella. Tom Edgar y Yajun Anh notaron que la ley cuadrática de reciprocidad , además de la prueba original de Gauss de 1796, tiene 246 pruebas más . Trazaron la cantidad de evidencia en función del tiempo y extrapolaron que para el 2050 se podría esperar la prueba número 300 de esta ley.
“Me gustan las nuevas pruebas de los viejos teoremas por la misma razón que me gustan las nuevas carreteras y los desvíos que conducen a lugares que conozco”, dijo Sofia Restad , estudiante de posgrado de la Universidad de Kansas. Estos nuevos caminos dan a los matemáticos un sentido espacial del lugar en el que se desarrollan sus actividades intelectuales.
Es posible que los matemáticos nunca dejen de buscar formas nuevas y más claras de demostrar tanto el teorema de los números primos como sus otros teoremas favoritos. Si tiene suerte, algunos de ellos incluso tendrán el honor de ser incluidos en el "Libro".