La impedancia característica de una línea sin pérdidas se expresa mediante la conocida fórmula:
donde L L y C L son inductancia lineal y capacitancia de línea (es decir, por unidad de longitud). Creo que será útil aclarar de dónde viene. Considere una sección extremadamente pequeña de una larga línea de transmisión de dos cables a través de la cual fluye una corriente alterna (Fig. 1). La corriente es alterna, por lo tanto, los valores instantáneos de corriente, voltaje entre cables, densidad lineal de carga eléctrica varían a lo largo de los cables.
La ley de conservación de carga para la sección del cable y la ley de Faraday para el circuito son las siguientes:
Para una línea sin pérdidas (R L = 0) y teniendo en cuenta Φ L = L L ∙ iyq L = C L ∙ v obtenemos:
Estas ecuaciones diferenciales se reducen a forma de onda, por lo que obtenemos:
donde u es la velocidad de propagación de la onda y el coeficiente que conecta la corriente en los cables y el voltaje entre los cables es la impedancia característica. Aquí hay algunas relaciones útiles (TD - retardo de tiempo de línea):
La capacitancia y la inductancia dependen de la frecuencia, por lo tanto, la impedancia característica también cambia con la frecuencia. La influencia del efecto de la piel sobre la inductancia se limita a frecuencias de hasta varias decenas de megahercios, en el rango de frecuencia superior cambia de manera insignificante. El valor de la capacitancia se ve afectado por la dependencia de la constante dieléctrica del material de la placa de circuito impreso con la frecuencia, y para las líneas de microbanda, debido a la asimetría del dieléctrico, también el efecto de dispersión. Los datos para la fibra de vidrio FR-4 en diferentes fuentes difieren, sin embargo, como estimación, se puede suponer que la constante dieléctrica disminuye en 0.15-0.2 cada década (Fig. 2). La diferencia en los datos se debe al hecho de que FR-4 es una clase de material. Consiste en fibra de vidrio y resina epoxi con constantes dieléctricas significativamente diferentes (Fig. 3).Cuanta más resina haya en el material, menor será el valor promediado en volumen de la constante dieléctrica del laminado de fibra de vidrio. Por lo tanto, valores diferentes para diferentes fabricantes. Por cierto, debido a dicha anisotropía, la constante dieléctrica también depende de la dirección, longitudinal o transversal, lo que afecta los cálculos de las líneas diferenciales, ya que la configuración del campo diferirá según el modo.
La disposición mutua de fibra de vidrio y fibras conductoras también afecta la impedancia característica. Si el conductor está ubicado por encima de la fibra, entonces su impedancia característica será ligeramente más alta en comparación con el conductor adyacente, que cayó en el espacio entre las fibras. Si el conductor se dirige en un ángulo con respecto a las fibras, esto conduce a un cambio periódico en la impedancia característica y los efectos de resonancia en frecuencias en la región de decenas de GHz. El grado de influencia depende en gran medida del tipo de tejido de fibra de vidrio (Fig. 4). Por eso existen materiales especializados para placas de circuito impreso de alta frecuencia, donde la influencia de estos efectos se vuelve significativa. Los parámetros de dichos dieléctricos tienen una mejor estabilidad en un amplio rango de frecuencias y están mucho mejor documentados.
Con respecto a las pérdidas (Fig. 5), para la mayoría de los casos prácticos, el modelo de baja pérdida es aplicable, por los que las pérdidas a altas frecuencias se pueden despreciar R SER «ωL, R FUGAS »1/ωC. Esta simplificación hizo posible desarrollar modelos eficientes que permiten un cálculo muy preciso de los parámetros de la línea de señal utilizando funciones estándar.
Las líneas de señales planas se inventaron a principios de la década de 1950 y se desarrollaron modelos matemáticos precisos casi de inmediato para las líneas de banda, y se necesitaron varias décadas para crear un modelo de análisis de microcinta preciso. Harold Wheeler fue uno de los primeros (en 1965) en dar soluciones exactas para casos particulares , que generalizó más tarde (en 1977) . La razón es la asimetría del dieléctrico, que conduce a una distribución compleja del campo eléctrico, que también depende de la frecuencia.
Naturalmente, este modelo no era el único, y en 1988 había suficientes para que resulte interesante compararlos. Esto esta hechoel gran y terrible Eric Bogatin. Me encontré con este artículo cuando estaba eligiendo un modelo de cálculo para una calculadora. Luego llegué a las publicaciones de Wheeler, donde hay muchas páginas de matemáticas geniales con transformaciones conformes, y me di cuenta de que Bogatin no lo había leído con atención (o no lo había leído en absoluto) y que había sido grosero con su modelo, lo que influyó en los resultados de la comparación. Luego, este error migró al año 2007. Al mismo tiempo, el propio Bogatin se refiere a la monografía "Datos de impedancia de línea de transmisión de microondas" de un tal M.A.R. Gunstan, pero ya no comencé a cavar donde crecen las piernas, reconociendo al camarada Bogatin como el culpable (a quien, por cierto, respeto mucho, Bogatin es la fuerza).
Entonces cuál es el punto. Bogatin midió experimentalmente la capacitancia lineal de líneas de microcinta de varios anchos (a una frecuencia de 1 kHz) y las comparó con los valores calculados (Fig. 6).
En todos los modelos de los que estudié las fuentes primarias, se dan relaciones analíticas para la impedancia de onda. La capacidad se calcula utilizando la siguiente relación:
donde ε r es la constante dieléctrica, c es la velocidad de la luz. La asimetría del dieléctrico conduce al hecho de que es necesario inventar el valor efectivo de la constante dieléctrica. Bogatin escribe:
En el caso de Wheeler [13], no se ofrece ningún modelo para la constante dieléctrica efectiva. Sin embargo, según la sugerencia de Gunsten [6], la gráfica del modelo de Wheeler utiliza la constante dieléctrica efectiva del modelo de Schneider.
y utiliza un modelo híbrido de Wheeler-Schneider (resultado en pF / pulgada):
Según los resultados del experimento, el modelo da una buena precisión y Bogatin elogia su bicicleta inventada:
Se encontró que la combinación del modelo de Wheeler y Schneider concuerda con los datos publicados anteriormente y los nuevos datos presentados aquí en más del 3 por ciento, y tiene una forma adecuada para su uso en una hoja de cálculo. Además de ser útil para la simulación por computadora de diseños específicos, este modelo puede proporcionar información útil para agregar a la intuición de los ingenieros de fabricación y diseño.
Pasemos ahora a la fuente original. Las fórmulas que utiliza Bogatin son fórmulas simplificadas para el caso sin dieléctrico:
y el modelo completo se ve así:
aquí, en la notación de Wheeler, R es la resistencia de onda, k es la constante dieléctrica, R 1 = R (k = 1) es la resistencia sin dieléctrico, ∆w es la corrección de ancho teniendo en cuenta el grosor del conductor, ∆w 'es la corrección teniendo en cuenta la influencia del dieléctrico. Wheeler usa la notación k 'para la constante dieléctrica efectiva y le da la siguiente fórmula:
que no es tan simple, por supuesto, como el de Schneider, pero sin embargo está en el modelo. Repetí los cálculos de Bogatin, dejando los modelos más precisos: Schneider, Wheeler, su versión híbrida, y agregué los resultados del cálculo utilizando la calculadora Saturn PCB Toolkit y el modelo Hammerstead . Para mayor claridad, presento un gráfico y datos tabulares con un error relativo a los datos experimentales.
Teniendo en cuenta los errores de medida y la constante dieléctrica del material base (2,2 ± 1%), podemos decir que todos los modelos se correlacionan bien con los datos experimentales, no en vano los investigadores han ajustado las fórmulas durante años. Esperaba más precisión de Saturno, ya que dice directamente que utiliza una fórmula "no simple, sino compleja" y la precisión es comparable a Sonnet 3D. Además, el grosor solo se puede seleccionar en onzas, y esto es ½ oz. (18 micrones) o 1 oz. (35 μm) y 1 mil (25,4 μm) no se especifica. Los valores de la tabla son para ½ oz., Ya que están más cerca de los datos experimentales obtenidos de esta manera. También es obvio que el modelo original de Wheeler habría sido más preciso en esta muestra de datos, así que estaba molesto con él. Especialmente considerando queque el mismo modelo de Schneider tiene un serio inconveniente: no tiene en cuenta el efecto del grosor del conductor, que casi no tiene efecto sobre la capacitancia, pero es significativo para la inductancia y, por lo tanto, la resistencia de onda en sí. Desafortunadamente, Bogatin no da el valor de la impedancia de onda, por lo que utilizócalculadora de una empresa de renombre Rogers. El Saturno esta vez es 1 oz. dio una precisión algo mejor, la lógica de su trabajo aún no me queda muy clara. El gráfico muestra que a medida que disminuye el ancho (donde aumenta el efecto del grosor), Schneider cae. Y Rogers, aparentemente, se basa en el modelo de Hammerstead. Originalmente lo hice en Wheeler , pero como la mayoría de las calculadoras avanzadas están en Hammerstead, será posible cambiar a este modelo para estar al día con ellas (aunque el modelo no tiene una fórmula explícita para la síntesis, a diferencia de Wheeler).
En realidad, sobre esto considero que se restablece la justicia. Wheeler es poder. Incluso Bogatin a veces se equivoca. Así que no confíe, verifique y vuelva a verificar. Utilice los cálculos para sus líneas de señal. Por cierto. Comparta los comentarios si utiliza el cálculo de la resistencia de las olas y, de ser así, con la ayuda de ¿qué piensa?
PD: Estoy en el proceso de trabajar en la calculadora y estoy finalizando el libro , ahora mis manos han llegado a la versión gratuita; he agregado todas las mejoras y correcciones que anteriormente solo se realizaban en su totalidad. ¡Buena suerte a todos!